গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-১০)

একটি থলেতে 20 টি বল আছে, যাদের মধ্যে a সংখ্যক লাল বল, b সংখ্যক সাদা বল এবং c সংখ্যক কালো বল আছে। আরও জানা আছে—

• যদি সাদা বলের সংখ্যা দ্বিগুণ করা হয়, তাহলে একটি লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা  পূর্বের থেকে 1/25 কমে যায়।

• যদি সব লাল বল সরিয়ে ফেলা হয়, তাহলে একটি সাদা বল পাওয়ার সম্ভাবনা পূর্বের থেকে 1/16 বেড়ে যায়।

a, b, c এর মান বের করো।

প্রশ্নের তথ্যমতে আমরা ৩টি সমীকরণ গঠন করতে পারবো। সমীকরণগুলো সমাধান করলে অজানা রাশিগুলো অর্থাৎ a, b, ও c এর মান পেয়ে পাবো। সমীকরণগুলো হলো—

a + b + c = 20 ... ... ... (i)

a/(20 + b) = a/20 – 1/25 ... ... ... (ii)

এবং b/(20 – a) = b/20 + 1/16 ... ... ... (iii)

(ii) হতে পাই—

a/20 – a/(20 + b) = 1/25

বা, (20a + ab – 20a)/20(20 + b) = 1/25

বা, ab/(20 + b) = 20/25

বা, ab/(20 + b) = 4/5 … … … (iv)

(iii) হতে পাই—

b/(20 – a) = b/20 + 1/16

বা, b/(20 – a) – b/20 = 1/16

বা, (20b – 20b + ab)/20(20 – a) = 1/16

বা, ab/(20 – a) = 20/16

বা, ab/(20 – a) = 5/4

বা, ab = (100 – 5a)/4

বা, b = (100 – 5a)/4a … … … (v)

(iv) কে (v) দ্বারা ভাগ করে পাই—

(20 – a)/(20 + b) = 16/25

বা, 500 – 25a = 320 + 16b

বা, 180 – 25a = 16b

বা, b = (180 – 25a)/16 … … … (vi)

(v) ও (vi) হতে পাই—

(100 – 5a)/4a = (180 – 25a)/16

বা, 100 – 5a = (180a – 25a²)/4

বা, 400 – 20a = 180a – 25a²

বা, 25a² – 200a + 400 = 0

বা, a² – 8a + 16 = 0

বা, a² – 2∙a∙4 + 4² = 0

বা, (a – 4)² = 0

বা, a – 4 = 0

∴ a = 4

a–এর মান (vi) এ বসিয়ে পাই—

b = (180 – 25∙4)/16

বা, b = 80/16

∴ b = 5

a ও b–এর মান (i) এ বসিয়ে পাই—

4 + 5 + c = 20

∴ c = 11

∴ নির্ণেয় মান: (a, b, c) = (4, 5, 11)