চলো ‘দেখি’ 0!

আমরা অনেকেই জানি, 0! = 1। এখন প্রশ্ন হলো, 0! = 1 কেন? কীভাবে?

ছেলেবেলায় আমি নিজে যখন প্রথম 0! এর মানের ব্যাপারটা জানতে পারি, তখন এ প্রশ্ন আমাকে বেশ ভালো যন্ত্রণা দিত। আমি ভাবতাম, কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল মানে যদি হয় 1 থেকে শুরু করে সেই সংখ্যা পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর গুণফল (যেমন 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1), তাহলে 0! এর মানে কী হয়? তাহলে তো 0! এর মানে হয় 1 থেকে শুরু করে 0 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর গুণফল! কিন্তু অ্যাঁ?! এটা আবার কীভাবে সম্ভব! আর এর রেজাল্টই বা কী করে 1 হয়? আমি সত্যিই বুঝতাম না।

বইয়ে গাণিতিকভাবে এর একটা প্রমাণ করে দেওয়া ছিল বটে, যে 0! = 1, কিন্তু আমার কেন যেন সেটা মানতে খুব কষ্ট হতো। আর কষ্ট হবেই বা না কেন? গাণিতিকভাবে একটা জিনিসের প্রমাণ দেখে মেনে নেওয়া আর জিনিসটা মন থেকে, ভেতর থেকে বুঝতে পারা বা feel করা মোটেও এক জিনিস নয়!

এরপর কোনো এক সময় এসে ব্যাপারটা জেনেছি, বুঝেছি, feel করেছি (এবং শান্তি পেয়েছি)! আমার ধারণা, হয়তো আমার মতো অনেকের মনে এ ঝামেলা ঘুরেছে বা এখনো ঘোরে। যাতে ভবিষ্যতে আর না ঘোরে, সেজন্য এ লেখা।

শুরু থেকেই শুরু করি। যদি n একটা স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তখন n এর factorial–কে n! দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে—

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × … … … × 3 × 2 × 1

যেমন: 2! = 2 × 1 = 2, 3! = 3 × 2 × 1 = 6, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

একইভাবে, 1! = 1

সবই ঠিক আছে। কিন্তু তাহলে 0! = 1 হয় কীভাবে?

Factorial–এর সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি,

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × … … … × 3 × 2 × 1

বা, n! = n × (n - 1)!

∴ (n - 1)! = n!/n ... ... ... (i)

(i) এ n = 1 বসিয়ে পাই, (1 - 1)! = 1!/1

বা, 0! = 1/1

সুতরাং, 0! = 1

ওপরের ব্যাপারটা বোঝার সুবিধার জন্য ফ্যাক্টরিয়ালের প্যাটার্ন আকারে এভাবে দেখানো যায়—

4! = 5!/5 = 120/5 = 24

3! = 4!/4 = 24/4 = 6

2! = 3!/3 = 6/3 = 2

1! = 2!/2 = 2/2 = 1

0! = 1!/1 = 1/1 = 1

সত্যি বলতে, এটা আরও অনেকভাবে দেখানো যায়। যেমন গামা ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে জানি, Γ(s) = (s – 1)!

S = 1 বসিয়ে পাই, Γ(1) = (1 – 1)!

বা, 0! = Γ(1)

কিন্তু Γ(1) = 1

সুতরাং, 0! = 1

এগুলো তো সব সেই গাণিতিক প্রমাণই হলো! কিন্তু ব্যাপারটা তো এখনো ঠিক feel করতে পারা গেল না। Where is that practical feeling?

পারমুটেশনের ধারণা থেকে এটা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। একটা সেটের উপাদানগুলোকে নিয়ে যদি আমরা ভিন্নভাবে সাজাই, তাহলে ঠিক কত উপায়ে সেটি করা যাবে? এটা আসলে নির্ভর করবে সেটের উপাদান সংখ্যার ওপর। যেমন ধরা যাক, একটা সেটের উপাদানগুলো হলো a, b, c। উপাদানগুলোর সব কটি ব্যবহার করে বিভিন্ন বিন্যাসে সাজালে পাওয়া যায়— (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)—এ ছাড়া আর কোনো বিন্যাস সম্ভব নয়। এখান থেকে দেখা যায় যে একটা সেটের ভিন্ন ভিন্ন তিনটি উপাদানের জন্য মোট ছয়টি আলাদা বিন্যাস পাওয়া যায়। একইভাবে, চারটি উপাদানের জন্য 24টি, পাঁচটি উপাদানের জন্য 120টি, ছয়টি উপাদানের জন্য 720টি ইত্যাদি।

অর্থাৎ একটা সেটে ভিন্ন ভিন্ন n সংখ্যক উপাদান থাকলে, প্রতি বিন্যাসে তাদের সবাইকে ব্যবহার করলে উপাদানগুলোর মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে n! (বিন্যাসের এ ধারণা থেকে মূলত factorial–এর উৎপত্তি)। আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা ভগ্নাংশ কিংবা ঋণাত্মক হতে পারে না; কিন্তু শূন্য হতে পারে। আর তাই ফ্যাক্টরিয়াল অপারেশনের ক্ষেত্রে n, ভগ্নাংশ কিংবা ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত না, কিন্তু 0 এর জন্য সংজ্ঞায়িত!

তাহলে ব্যাপারটা কী দাঁড়াল? ব্যাপারটা দাঁড়াল এই যে কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল মানে আসলে ওই সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিসকে মোট কতভাবে আলাদা আলাদাভাবে বিন্যস্ত করা যায় সেটা। এ আসল ব্যাপারটা বুঝতে পারলে আমার মনে হয় এবার বোঝা যাবে যে কেন 0! = 1 হয়।

একটু আগে দেখানো হয়েছে যে কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা (ভিন্ন ভিন্ন) n হলে এর বিন্যাস সংখ্যা হবে n!; অর্থাৎ কোনো একটা সেটে যদি ভিন্ন 10টি উপাদান থাকে, তাহলে এর উপাদানগুলোকে 10!টি আলাদা প্যাটার্নে সাজানো যাবে। যদি কোনো সেটে একটিমাত্র উপাদান থাকে, তাহলে এর কেবল একটি বিন্যাসই পাওয়া যাবে। এখন কথা হলো, যদি কোনো উপাদানই না থাকে, সে ক্ষেত্রে এর বিন্যাস সংখ্যা কত?

যদি কোনো সেটের উপাদান না থাকে, তখন সেটাকে আমরা ফাঁকা সেট বলি। লক্ষ করো, এটি অবশ্যই একটা সেট। উপাদান না থাকলেও এর অস্তিত্ব আছে। আর তাই এর বিন্যাস থাকতে হবে। অর্থাৎ এর বিন্যাস সংখ্যা শূন্য নয়। তাহলে সেটি কত?

উত্তর খুবই সোজা! তুমি নিজেই বলো, ফাঁকা সেটকে তুমি কতভাবে সাজাতে/বিন্যস্ত করতে/দেখতে পারবে? উত্তর হলো, কেন! একভাবেই (উপাদানবিহীন ‘একটা’ সেট হিসেবে বা ‘একটা’ empty space হিসেবে)!

তাহলে 0টা উপাদানের একটা সেটকে তুমি ভিন্ন ভিন্ন কতভাবে দেখতে পারলে? 1 ভাবেই! আর তাই 0! = 1।