গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-৯)

ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 2025 এবং AE = EH = HD ও BF = FG = GC হলে, EFGH এর ক্ষেত্রফল বের করো।

এই সমস্যাটি সমাধানের ক্ষেত্রে আমাদের নিচের অনুপাতের ধারণা সম্পর্কে ধারণা থাকতে হবে।

∎ দুটি ত্রিভুজের উচ্চতা একই হলে, তাদের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ও ভূমিদ্বয়ের অনুপাত পরস্পর সমান।

এখন সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় অঙ্কন করে নতুন চিত্র পাই—

(∎) প্রয়োগ করে পাই—

∆ABF এর ক্ষেত্রফল/∆FAG এর ক্ষেত্রফল = BF/FG

বা, ∆ABF এর ক্ষেত্রফল/∆FAG এর ক্ষেত্রফল = BF/BF

বা, ∆ABF এর ক্ষেত্রফল/∆FAG এর ক্ষেত্রফল = 1

বা, ∆ABF এর ক্ষেত্রফল = ∆FAG এর ক্ষেত্রফল

∴ [∆ABF] = [∆FAG] … … … (i)

আবার, ∆FAG এর ক্ষেত্রফল/∆GAC এর ক্ষেত্রফল = FG/GC

বা, ∆FAG এর ক্ষেত্রফল/∆GAC এর ক্ষেত্রফল = FG/FG

বা, ∆FAG এর ক্ষেত্রফল/∆GAC এর ক্ষেত্রফল = 1

বা, ∆ABF এর ক্ষেত্রফল = ∆FAG এর ক্ষেত্রফল

∴ [∆FAG] = [∆GAC] … … … (ii)

(i) ও (ii) হতে পাই—

[∆ABF] = [∆FAG] = [∆GAC] … … … (iii)

একইভাবে, [∆ACE] = [∆ECH] = [∆HCD] … … … (iv)

এখন, [ABCD] = [∆ABF] + [∆FAG] + [∆GAC] + [∆ACE] + [∆ECH] + [∆HCD]

বা, [ABCD] = [∆ABF] + [∆FAG] + [∆GAC] + [∆ACE] + [∆ECH] + [∆HCD]

বা, [ABCD] = [∆AGC] + [∆AGC] + [∆AGC] + [∆ACE] + [∆ACE] + [∆ACE]

বা, [ABCD] = 3 × [∆AGC] + 3 × [∆ACE]

বা, [ABCD] = 3 × [AGCE]

∴ [AGCE] = [ABCD]/3 … … … (v)

আবার, [EFGH] = [∆EFG] + [∆EGH]

বা, [EFGH] = [∆EFG] + [∆EGH]

বা, [EFGH] = [∆EGC] + [∆AEG]    [(∎) অনুযায়ী]

বা, [EFGH] = [AGCE]   

বা, [EFGH] = [ABCD]/3

বা,  [EFGH] = 2025/3

বা, [EFGH] = 675

∴ EFGH এর ক্ষেত্রফল 675