গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-৫)

CD = 4, DF = 6 এবং EF = 2 হলে, অর্ধবৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

AB এর ওপর এমন একটি বিন্দু O নিই যেন DO = 2 হয়। O, C ; O, E যোগ করি।

এখন, ∆OCD ও ∆OEF হতে পাই—

CD = OF = 4

OD = EF = 2

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ODC = অন্তর্ভুক্ত ∠OFE = 90°

∴ ∆OCD ≅ ∆OEF    [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য অনুযায়ী]

∴ OC = OE

এখন, ∆OCE ত্রিভুজে OC = OE হওয়ায় ∆OCE একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। CE এর ওপর OM লম্ব অঙ্কণ করি। তাহলে, OM, CE-কে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। কারণ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

আবার, CE হলো বৃত্তের জ্যা এবং এর লম্বদ্বিখণ্ডক OM। তাহলে, ব্যাস AB ও OM এর ছেদবিন্দু O হবে বৃত্তের কেন্দ্র। সুতরাং, OC বা OE হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

এখন, ∆OCD সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই— OC² = OD² + CD²

বা, OC² = 2² + 4²

বা, OC² = 20

∴ অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = ½ × π × OC² = ½ × π × 20 = 10π