গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-৬)

ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ । GH = 1, HK = 2 এবং KD = 3 হলে, ABCDEF ষড়ভুজ এবং সবুজ অংশের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত ?

এই সমস্যাটি সমাধান করার আগে আমাদের দুটি বিষয় সম্পর্কে জানতে হবে।

১. দুটি ত্রিভুজের উচ্চতা একই হলে, তাদের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ও ভূমিদ্বয়ের অনুপাত পরস্পর সমান।

২. দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে, তাদের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ও অনুরূপ বাহুদ্বয়ের বর্গের অনুপাত পরস্পর সমান।

এখন আমরা মূল সমস্যা সমাধানে চলে যাই। শুরুতে হিসাবের সুবিধার্থে F, K ; F, D ও B, D যোগ করি। মনে করি, FD রেখাংশ BE-কে M বিন্দুতে ছেদ করে এবং FD⊥BE হবে। তাহলে নতুন চিত্রটি হবে—

∆GHF ও ∆BHK ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ ও সদৃশকোণী। তাহলে ২­-অনুযায়ী বলতে পারি— [∆GHF]/[∆BHK] = GH²/HK²

বা, [∆GHF]/[∆BHK] = 1²/2²

বা, [∆BHK] = 4 × [∆GHF]

বা, [∆BHK] = 4A … … … (i)   [ [∆GHF] = A ধরে ]

∆GHF ও ∆HFK ত্রিভুজদ্বয় একই উচ্চতাবিশিষ্ট । তাহলে ১-অনুযায়ী বলতে পারি— [∆GHF]/[∆KHF] = GH/HK

বা, [∆GHF]/[∆KHF] = 1/2

বা, [∆KHF] = 2 × [∆GHF] 

বা, বা, [∆KHF] = 2A … … … (ii)

আবার, ∆KHF ও ∆KFD ত্রিভুজদ্বয় একই উচ্চতাবিশিষ্ট । তাহলে ১-অনুযায়ী বলতে পারি— [∆KHF]/[∆KFD] = KH/KD

বা, 2A/[∆KFD] = 2/3   [ (ii) হতে ]

বা, [∆KFD] = 3A … … … (iii)

প্রতিসাম্যতা অনুযায়ী— [∆KFM] = [∆KDM] = [∆KFD]/2 = 3A/2 এবং [∆BKD] = [∆BFK] = [∆BHK] + [∆KHF] = 4A + 2A = 6A।

এখন, [∆BDF] = [∆ABF] + [∆BCD] + [∆DEF]

কিন্তু কেনো [∆BDF] = [∆ABF] + [∆BCD] + [∆DEF] হলো ? সেটা বুঝতে নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো :

বা, [∆BDM] + [∆BFM]  = [∆DEF] + [∆DEF] + [∆DEF]

বা, [∆BKD] + [∆KDM] + [∆BFK] + [∆KFM] = [∆DEF] + [∆DEF] + [∆DEF]

বা, 6A + 3A/2 + 6A + 3A/2 = 3 × [∆DEF]

বা, 15A = 3 × [∆DEF]

বা, [∆DEF] = 5A … … … (iv)

এখন, ABCDEF ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল

= [∆BDF] + [∆ABF] + [∆BCD] + [∆DEF]

= 15A + 5A + 5A + 5A

= 30A

আবার, সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল

= [∆GHF] + [∆BHK] + [∆KDE]

= [∆GHF] + [∆BHK] + [∆KDM] + [∆MDE]

= [∆GHF] + [∆BHK] + [∆KDM] + [∆DEF]/2

= A + 4A + 3A/2 + 5A/2

= 9A

∴ ABCDEF ষড়ভুজ এবং সবুজ অংশের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 30A : 9A = 10 : 3