চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল অনুসন্ধান

কেমন আছ গণিত ইশকুলের বন্ধুরা ? আজকে তোমাদের সঙ্গে মজার একটি জ্যামিতি  সমস্যাটা নিয়ে আলোচনা করব। তাহলে চলো সমস্যাটি দেখে নেয়া যাক।

একটি চতুর্ভুজ ABCD দেয়া আছে, যার ∠DAB = 60°, ∠ABC = 90°, ∠BCD = 120°। চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয় AC ও BD, M বিন্দুতে ছেদ করে। আরও দেওয়া আছে, MB = 1, MD = 2। এখন আমাদেরকে ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।

প্রথমেই আমরা যথাসম্ভব সঠিক একটি চিত্র আঁকার চেষ্টা করি।

প্রথমেই যেটি চোখে পড়ে তা হলো ∠DAB + ∠BCD = 60° + 120° = 180° । আমরা জানি কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুটির সমষ্টি 180° হলে চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ হয়। সুতরাং আমরা বলতে পারি, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, অর্থাৎ A, B, C, D বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর আছে।

এখন ∠ABC = 90° থেকে আমরা কী তথ্য পাই?

যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 90° হয়, তাহলে আমরা বলতে পারি AC, ABC বৃত্তের একটি ব্যাস। কিন্তু আমরা একটু আগে বের করেছি A, B, C, D একই বৃত্তের ওপর আছে। সুতরাং AC, ABCD বৃত্তের একটি ব্যাস। তাহলে বৃত্তটির কেন্দ্র হলো AC ব্যাসের মধ্যবিন্দু। ধরি কেন্দ্রটি হলো O। আবার যেহেতু AC বৃত্তটির ব্যাস, সুতরাং ∠ADC = 90°।

খেয়াল কর ABCD এর ক্ষেত্রফল বের করার জন্য ∆ABC, ∆ACD এর ক্ষেত্রফল বের করাই যথেষ্ট। আমরা প্রথমে ∆ACD এর ক্ষেত্রফল বের করার জন্য CD, DA বাহুর দৈর্ঘ্য বের করব। এখন বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য বের করার জন্য আমরা বৃত্তটির BCD চাপের মধ্যবিন্দু N নিই এবং BD জ্যা এর মধ্যবিন্দু L নিই।

আমাদেরকে MB, MD এর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে যা আমরা এখনো ব্যবহার করিনি। MB = 1, MD = 2।

তাহলে, BD = MB + MD = 3

⇒ BL = 3/2

এখন BAD চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠BND = ∠BCD = 120°  [∵ একই চাপের ওপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো সমান]।

আবার N যেহেতু BCD চাপের মধ্যবিন্দু , তাই NB = ND। অর্থাৎ NBD একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। তাহলে ∆NLB ≅ ∆NLD । তাই NL, BD এর ওপর লম্ব অর্থাৎ ∠NLB = 90°।

আবার ∠DNL = ∠LNB = (∠BND)/2 = (120°)/2 = 60°। এখন আমরা BN-এর দৈর্ঘ্য বের করে ফেলতে পারব। কারণ, sin(∠LNB) = BL/BN।

⟹ BN = BL/sin(∠LNB) = (3/2)/sin(60°) = (3/2)/(√3/2) = √3

এখন, ∆BND ও ∆BMN এর মধ্যে,

∠NBD = ∠MBN,

BN/BD = √3/3 = 1/√3 = MB/BN  [ ∵ BN = √3, BD = 3, MB = 1]

আমরা জানি, দুটি ত্রিভুজের একটি করে কোণ সমান হলে এবং সেই কোণসংলগ্ন বাহুগুলোর অনুপাত সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ হয়।

∴ ∆BND ~ ∆BMN

⟹ ∠BMN = ∠BND = 120°

⟹ ∠DMN = 180° - 120° = 60°।

এখন ∆BOD ও ∆BND এর মধ্যে,

∠BOD = 2∠BAD  [∵ একই চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

⟹ ∠BOD = 2 × 60° = 120° = ∠BND

আবার OB/OD = 1 = NB/ND

∴ ∆BOD ~ ∆BND

আবার ত্রিভুজ দুটির মধ্যে BD সাধারণ বাহু। তাহলে ∆BOD ≅ ∆BND।

∴ OD = ND, ∠ODB = ∠NDB

⟹ ∠ODM = ∠NDM

আবার ∆MOD, ∆MND এর মধ্যে MD সাধারণ বাহু।

তাহলে ∆MOD ≅ ∆MND [∵ দুটি ত্রিভুজের দুটি করে বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয় সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়]

⟹ ∠DMO = ∠DMN = 60°

এখন ∆ADM ও ∆BDA এর মধ্যে

∠ADM = ∠BDA,

∠AMD = ∠DMO = 60° = ∠BAD

∴ ∆ADM ~ ∆BDA

∴ AD/MD = BD/AD

⟹ AD² = MD × BD

⟹ AD² = 2 × 3

⟹ AD = √6

প্রায় একইভাবে আমরা প্রমাণ করতে পারি ∆DMC ~ ∆DCB

⟹ CD/MD = BD/CD

⟹ CD² = MD × BD =

⟹ CD² = 2 × 3

⟹ CD = √6

∴ ∆ACD এর ক্ষেত্রফল = (AD × CD)/2  [∵ ∠ADC = 90°]     

                                 = (√6 × √6)/2

                                 = 3

এবার আমরা এর ক্ষেত্রফল বের করব। ∆BCM ও ∆BDA এর মধ্যে

∠BCM = ∠BCA = ∠BDA [বৃত্তস্থ কোণ],

∠BMC = ∠DMA [বিপ্রতীপ কোণ] = 60° = ∠BAD

∴ ∆BCM ~ ∆BDA

∴ BC/MB = BD/AB

⟹ BC × AB = MB × BD = 1 × 3 = 3

∴ ∆ABC এর ক্ষেত্রফল = (BC × AB)/2  [∵ ∠ABC = 90°]

                               = 3/2

                               = 1.5

∴ ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = ∆ACD এর ক্ষেত্রফল + ∆ABC এর ক্ষেত্রফল = 3 + 1.5 = 4.5

আমরা আমাদের কাঙ্ক্ষিত উত্তর পেয়ে গেলাম।