গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-১৯)
অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতির জন্য গাণিতিক সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, তোমরা আমাদের এখানে যেকোনো গাণিতিক সমস্যা পাঠাতে পারো, আবার চাইলে যেকোনো সমস্যার সমাধানও পাঠাতে পারো। সেখান থেকে বাছাইকৃত লেখা ছাপা হবে প্রথম আলোর গণিত ইশকুলে।
প্রশ্ন:
একটা পার্টিতে ছেলেরা শুধু মেয়েদের সঙ্গে হ্যান্ডসেক করে আর মেয়েরা সবার সঙ্গে হ্যান্ডসেক করে। যদি মোট হ্যান্ডসেক সংখ্যা 40 হয়, তাহলে ছেলে ও মেয়েদের সংখ্যা কত ?
সমাধান:
ধরি, ছেলের সংখ্যা = b এবং মেয়ের সংখ্যা = g
ছেলেরা শুধু মেয়েদের সঙ্গে হ্যান্ডসেক করলে হ্যান্ডসেক সংখ্যা হবে = bg এবং মেয়েরা শুধু মেয়েদের সঙ্গে হ্যান্ডসেক করলে হ্যান্ডসেক সংখ্যা হবে = C(g, 2)।
লক্ষণীয় বিষয়: যখন ছেলেরা মেয়েদের সঙ্গে হ্যান্ডসেক করে, তখন একই সময়ে কিন্তু মেয়েদের সঙ্গে ছেলেদের হ্যান্ডসেক হয়ে যাচ্ছে। তাই bg সংখ্যক হ্যান্ডসেক একবার নিতে হবে।
প্রশ্নমতে, bg + C(g, 2) = 40
বা, gb + g!/{2! × (g – 2)!} = 40
বা, gb + g(g – 1)/2 = 40
বা, 2gb + g2 – g = 80
বা, g2 + (2b – 1)g – 80 = 0
বা, g = [– (2b – 1) ± √{(2b – 1)2 – 4 × (–80)}]/2
∴ g = [– (2b – 1) ± √{(2b – 1)2 + 320}]/2 ... ... ... (i)
g-কে মূলদ সংখ্যা, অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যা হতে হলে {(2b – 1)2 + 320}-কে পূর্ণবর্গ হতে হবে।
ধরি, (2b – 1)2 + 320 = k2 ... ... ... (ii)
বা, k2 – (2b – 1)2 = 320
বা, (k + 2b – 1)(k – 2b + 1) = 320 ... ... ... (iii)
আমরা জানি,
বিজোড় সংখ্যা + জোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা
বিজোড় সংখ্যা – জোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা
বিজোড় সংখ্যা – বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা
(ii) হতে— (2b – 1)2 বিজোড় সংখ্যা এবং 320 জোড় সংখ্যা। তাই k বিজোড় সংখ্যা হবে।
(iii) হতে— k ও (2b + 1) বিজোড় সংখ্যা। তাই (k + 2b – 1) = {k + (2b – 1)} জোড় সংখ্যা। আবার, k ও (2b – 1) বিজোড় সংখ্যা। তাই (k – 2b + 1) = {k – (2b – 1)} জোড় সংখ্যা।
এখন, 320 = 160 × 2 = 80 × 4 = 40 × 8 = 32 × 10 = 20 × 16
যেহেতু (k + 2b – 1) > (k – 2b + 1) এবং উভয়ই জোড় সংখ্যা, তাহলে—
কেইস-১: k + 2b – 1 = 160
k – 2b + 1 = 2
কেইস-২: k + 2b – 1 = 80
k – 2b + 1 = 4
কেইস-৩: k + 2b – 1 = 40
k – 2b + 1 = 8
কেইস- ৪: k + 2b – 1 = 32
k – 2b + 1 = 10
কেইস-৫: k + 2b – 1 = 20
k – 2b + 1 = 16
কিন্তু কেইস-২, কেইস-৩ ও কেইস-৫ গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ এ কেইসগুলোতে k-এর মান বিজোড় পাওয়া যায় না।
কেইস-১ এর সমীকরণ দুটি সমাধান করে পাই— k = 81 এবং b = 40।
b-এর মান (i) এ বসিয়ে পাই—
g = [– (2 × 40 – 1) ± √{(2 × 40 – 1)2 + 320}]/2
বা, g = (– 79 ± 81)/2
বা, g = 1 অথবা – 80
কিন্তু g = – 80 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ মেয়েদের সংখ্যা ঋনাত্নক হতে পারে না।
∴ b = 40 এবং g = 1
আবার, কেইস-৪ এর সমীকরণ দুটি সমাধান করে পাই— k = 21 এবং b = 6।
b-এর মান (i) এ বসিয়ে পাই—
g = [– (2 × 6 – 1) ± √{(2 × 6 – 1)2 + 320}]/2
বা, g = (– 11 ± 21)/2
বা, g = 5 অথবা – 16
কিন্তু g = – 16 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ মেয়েদের সংখ্যা ঋনাত্নক হতে পারে না।
∴ b = 6 এবং g = 5
সুতরাং, ছেলে ও মেয়েদের সংখ্যা যথাক্রমে 40 ও 1 অথবা 6 ও 5।