তোমরা নিশ্চয়ই নাগরদোলায় চড়েছ! ভয়ের কারণে কোনো দিন না চড়লেও মেলায় হাঁটতে হাঁটতে নিশ্চয়ই দেখেছ চরকির মতো ঘুরতে থাকা নাগরদোলাকে। নাগরদোলার কথা বলার কারণ, আজকে আমরা এমনই একটি চমৎকার প্রবলেম দেখব। চলো আগে দেখে নেওয়া যাক সমস্যাটি।
একটি 9 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষে 1 থেকে 9-এর মধ্যে যেকোনো একটি অঙ্ক এমনভাবে বসানো হলো যেন 1 থেকে 9 পর্যন্ত সব কটি ঠিক একবার ব্যবহার করা হয় এবং পাশাপাশি যেকোনো 3টি অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়। এ রকম সংখ্যার 2টি বিন্যাসকে অভিন্ন ধরা হবে যদি একটিকে শুধুমাত্র ঘূর্ণনের মাধ্যমে অপরটি পাওয়া যায়। মোট কয়টি অভিন্ন বিন্যাস আছে?
অনেকেই হয়তো ধরে ফেলেছ নাগরদোলার সঙ্গে এই অংকের সম্পর্ক। আসলে নাগরদোলার মতোই আমাদের এই বহুভূজটিও ঘূর্ণনে সক্ষম। এতে করে বেশ কিছু বিন্যাস অভিন্ন বা একই হয়ে যাচ্ছে, যা আমাদের বাদ দিতে হবে। এ ছাড়া গুরূত্বপূর্ণ আরেকটি শর্ত হলো, পাশাপাশি যেকোনো তিনটি অঙ্কের সমষ্টি তিন দ্বারা বিভাজ্য হওয়া। বিভাজ্যতাসংশ্লিষ্ট সমস্যার ক্ষেত্রে একটি সুন্দর অ্যাপ্রোচ মডুলার অ্যারিথম্যাটিক নিয়ে কাজ করা। এই সমস্যার ক্ষেত্রেও যদি আমরা অঙ্কগুলোকে (mod ) তে নিই, তাহলে পাই,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ≡ 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0 (mod 3)
দেখা যাচ্ছে, 1, -1, 0 পর্যায়ক্রমিকভাবে আসছে। আবার, পাশাপাশি যেকোনো তিনটি অঙ্কের সমষ্টি তিন দ্বারা বিভাজ্য মানে, তাদের সমষ্টি (mod3) তে 0। তাহলে আমরা এই 1, -1, 0 দিয়ে 9টি পদের এমন একটি ধারা তৈরি করার চেষ্টা করি যেন পাশাপাশি যেকোনো তিনটির সমষ্টি 0 হয়। লক্ষ করো, প্রথম তিনটি পদ নির্বাচন করা হলে পরবর্তী পদসমূহ আর নির্বাচনের সুযোগ নেই।
যেমন প্রথম তিনটি পদ 1, -1, 0 হলে চতুর্থ পদটি অবশ্যই 1 হতে হবে, নাহলে দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ পদের সমষ্টি 0 হবে না। সুতরাং এমন 3টি অঙ্ক নিয়ে একটি ধারা চিন্তা করাই আসলে যথেষ্ট, যেখানে একটি বিন্যাসকে চক্রাকারে ঘোরালে অন্যটি না পাওয়া যায়। একটু খুঁজলেই পাবে, এমন দুইটি ধারা সম্ভব: (1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0) এবং (-1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0)।
প্রথম ধারায়, প্রথম পদের জন্য {1, 3, 5} সেটের তিনটি অঙ্ক থেকে যেকোনো একটিকে নির্বাচন করা যায়। একইভাবে, দ্বিতীয় পদের জন্য {2, 4, 6} সেটের তিনটি থেকে এবং সর্বশেষ পদের জন্য {3, 6, 9} সেটের তিনটি থেকে একটি করে নির্বাচন করতে পারি। এখন পরবর্তী পদগুলো নির্বাচনের জন্য প্রতিটি সেটেই দুইটি অঙ্ক বিদ্যমান। তাহলে চতুর্থ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদের জন্য আমরা প্রতি দুইটি অঙ্ক থেকে একটি করে নির্বাচন করতে পারি। অবশিষ্ট অঙ্কগুলো বাদ বাকি পদগুলোতে বসবে। সুতরাং, প্রথম ধারার জন্য (3 × 3 ×3 × 2 × 2 × 2 × 1 × 1 × 1)-টি বিন্যাস পাওয়া যায়।
কিন্তু লক্ষ করো, বিন্যাসগুলোয় তিন পদ পরপর একই ধরণের অঙ্কের পুনরাবৃত্তি সম্ভব। অর্থাৎ এমন প্রতি তিনটি বিন্যাস আসলে রোটেশনাল সিমেট্রির জন্য একই। উদাহরণস্বরূপ নিচের তিনটি বিন্যাস তুলনা করা যাক।
নিজেরাই বুঝতে পারছ, ঘড়ির কাটার দিকে একটু ঘোরালেই প্রথমটি থেকে দ্বিতীয়টি এবং আরেকটু ঘোরালে দ্বিতীয় থেকে তৃতীয়টি পাওয়া যায়। ঠিক যেন নাগরদোলার মতো, তা-ই না!
তাই আমরা আসলে (3×3×3×2×2×2×1×1×1)/3 টি ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে সাজাতে পারি। ঠিক একইভাবে, দ্বিতীয় ধারার জন্যও একইসংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন উপায় রয়েছে। তাহলে মোট অভিন্ন বিন্যাস সংখ্যা : (3×3×3×2×2×2×1×1×1)/3×2=144