গল্পে গল্পে জ্যামিতি-৪

এবারের বইমেলা থেকে আবিদা বিভিন্ন গল্প, উপন্যাসের বই কিনল। পার্থও কিছু বই কিনল। তারপর পার্থ আবিদাকে দুইটা বই উপহার দিল। একটা গল্পের বই, আরেকটা গণিতের বই। পার্থ ইচ্ছে করেই গণিতের বই দিল। কারণ, আবিদা গণিত পছন্দ করলেও তার গণিতের প্রতি ভয় এখনো রয়ে গেছে।

ক্লাসের বইয়ের গণিত বাদেও গণিতের অনেক সৌন্দর্য যে তার অজানা রয়ে গেছে, সেটা বোঝানোর জন্যই বইটা দেওয়া। আবিদা জানত না তাকে কী বই উপহার দেওয়া হয়েছে। বইমেলা থেকে কেনাকাটা ও ঘোরাঘুরি শেষে বাসায় যাওয়ার পর দেখতে পেল, তার ব্যাগে একটা গণিতের বইও আছে। সে সাহস করে একটা পৃষ্ঠা উল্টাল। এক লাফে একটা জ্যামিতি সমস্যায় চলে গেল সে। আগামাথা না বুঝে পার্থকে কল দিল।

কল দিয়ে বলল, সে একটা ভয়ানক জ্যামিতির সম্মুখীন হয়েছে। পার্থ মেসেঞ্জারে প্রশ্নটা দিতে বলল। প্রশ্নটা পাওয়ার পর বলল, চলো আজ দুজন মিলে এইটা সমাধান করব। আজ বুঝবে জ্যামিতি কতটা মজার!

পার্থ প্রশ্নটা খাতায় তুলল- একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ∆ABC তে AB = BC এবং ∠B = 100°। D, BA-এর বর্ধিতাংশের ওপর এমনভাবে অবস্থিত যেন AC = BC + AD হয়। ∠BDC এর মান বের করো।

পার্থ আবিদাকে বলল, প্রশ্নটা ভালো করে আরেকবার পড়ো। আবিদার পড়া শেষে পার্থ বলল, দেখো, প্রশ্নের একটা গুরুত্বপূর্ণ ক্লু হলো, AC = BC + AD। আমরা এই ক্লু-এর মাধ্যমে AC থেকে BC-এর সমান করে CE অংশ কাটি এবং D ও E যোগ করি। তাহলে চিত্রটা হবে এমন-

এখন, যেহেতু AB = BC এবং ∠B = 100°, সেহেতু ∠BAC = ∠BCA = 40°।তাহলে, ∠AEC = ∠ADE = 20°  [∵ AE = AD]

আচ্ছা আদিবা, এখন কী করা যায় বলো তো? আবিদা চিত্রটার দিকে শুধু তাকিয়েই আছে। একটু পর পার্থ বলল, আচ্ছা আমি বলছি।

এখন আমাদের হিসাবের সুবিধার্থে একটু আঁকাআঁকি করতে হবে। ∠ACB = 40° এর সমদ্বিখণ্ডক CF আঁকি, যা AB কে F বিন্দুতে ছেদ করে। তারপর E ও F যোগ করি। তাহলে চিত্রটা হবে-

আচ্ছা পার্থ, আমরা কেন সমদ্বিখণ্ডক নিলাম?

দেখো আমাদের ∠AED = ∠ADE = 20° জানা আছে। আবার ∠DEC এর মানও বের করতে পারব। তাহলে ∠ECD বা ∠EDC বের করতে পারলেই আমরা আমাদের উত্তর পেয়ে যাব।

এইবার লক্ষ করলে দেখবে, ∆BCF ও ∆CEF সর্বসম (বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য)।∴ ∠EFC = ∠BFC = 60° এবং ∠FEC = ∠FBC = 100°আবার, ∆EFC ও ∆FED সর্বসম (কারণ ∠FEC = ∠FED = 100°, ∠DFE = ∠CFE = 60° এবং অনুরূপ বাহু EF = অনুরূপ বাহু EF)∴ DE = CEএখন, ∠DEC = সরলকোণ ∠AEC - ∠AED = 180° - 20° = 160°

তাহলে, ∆DEC হতে পাই, ∠ECD = ∠EDC = 180° - ∠DEC = 180° - 160° = 20°∴ ∠BDC = ∠ADC + ∠EDC = 10° + 20° = 30°এটাই হলো উত্তর।

শুরুতে ভয় পেলেও শেষ পর্যন্ত জ্যামিতিটা করে আবিদা খুব মজা পেয়েছিল।