মডুলার অ্যারিথমেটিকের বিচরণ কি কেবল সংখ্যাতত্ত্বের মধ্যেই? (পর্ব-২)

বিগত পর্বে মডুলার অ্যারিথমেটিকের ব্যবহারিক কিছু দিক আলোচিত হয়েছিল। এই পর্বে মডুলার অ্যারিথমেটিক দিয়ে একটি মজার জিনিস শিখে ফেলা যাক।

দিন (The Day) নির্ণয়: দিন নির্ণয়ের জন্য এখানে কতিপয় পদ্ধতি দেখানো হবে। সবগুলো দিয়েই সাধারণত নির্ভুলভাবে দিন নির্ণয় করা যায়।

প্রথমেই আমরা দেখে নিব Zeller’s Congruence দিয়ে দিন নির্ণয়। নিচে ইকুয়েশনটি দেওয়া হলো—

x ≡ (d + ⌊13(m+1)/5⌋ + y + ⌊y/4⌋ + ⌊c/4⌋ + 5c) mod 7 … … … (1)

এখানে, x = দিন (রবিবার, সোমবার ইত্যাদি), d = তারিখ (1,2, 3, … ... , 30, 31), m = মাস (March = 3, April = 4, … … , January = 13, February = 14), y = বছরের শেষ 2 ডিজিট, c = বছরের প্রথম 2 ডিজিট। উল্লেখ্য যে, January, February–এর কোনো দিনের তারিখ দিয়ে উক্ত দিনটি বের করতে হলে এক বছর কমিয়ে হিসাব করতে হবে। নিচে ফলাফল অনুযায়ী দিনগুলো দেওয়া হলো।

দৃষ্টান্তস্বরূপ একটি তারিখ দৈবভাবে নির্বাচন করি। ধরি, আজকের তারিখ 18.10.2022 । এ ক্ষেত্রে (1) নং ইকুয়েশনটিতে তথ্য বসিয়ে পাই,

x ≡ (18 + ⌊13(10+1)/4⌋ + 22 + ⌊22/4⌋ + ⌊20/4⌋ + 5 × 20) mod 7

বা, x ≡ 178 mod 7

বা, x ≡ 3

অতএব, Table 1 অনুযায়ী দিনটি হলো মঙ্গলবার।

এবার আরেকটি পদ্ধতি দেখা যাক। নিচে আরেকটি ইকুয়েশন দেওয়া হলো—

x ≡ (d + e + c + g + ⌊g/4⌋) mod 7 … … … (2)

এখানে, d = তারিখ (1, 2, 3, . . . , 31), e = মাস অনুযায়ী কোড, c = শতাব্দী অনুযায়ী কোড, g = বছরের শেষ 2 ডিজিট। উল্লেখ্য যে, Leap Year–এর ক্ষেত্রে ফেব্রুয়ারি মাসের যেকোনো দিনের জন্য ইকুয়েশনটি নিচে দেওয়া হলো:  

x ≡ (d + e + c + g + ⌊g/4⌋ - 1) mod 7 … … … (3)

নিচে ফলাফল অনুযায়ী দিনগুলো দেওয়া হলো।

মাস অনুযায়ী কোডের চার্ট:

শতাব্দী অনুযায়ী কোডের চার্ট: 

দৃষ্টান্তস্বরূপ একটি তারিখ দৈবভাবে নির্বাচন করি। ধরি, আজকের তারিখ 3.5.1980। এ ক্ষেত্রে (2) নং ইকুয়েশনটিতে তথ্য বসিয়ে পাই,

x ≡ (3 + 1 + 0 + 80 + ⌊80/4⌋) mod 7

বা, x ≡ 104 mod 7

বা, x ≡ 6

Table 2 অনুযায়ী দিনটি হলো শনিবার।

মডুলার অ্যারিথমেটিকের যে আর ব্যবহার নেই, এমন না। গুগল করলে আরও হাজারটি প্রয়োগ পাওয়া যাবে, যা আমরা অজান্তেই ব্যবহার করছি। এই কাজ পাঠকদের ওপরই ছেড়ে দিলাম।

দ্রষ্টব্য: পদ্ধতিগুলো গ্রেগরিয়ান ক্যালেন্ডারের জন্য প্রযোজ্য। আমরা বর্তমানে যে ইংলিশ ক্যালেন্ডার ব্যবহার করি, তা হচ্ছে গ্রেগরিয়ান ক্যালেন্ডার।