গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-৩)

চিত্রে AB = 6 হলে,  লাল অংশের ক্ষেত্রফল কত ?

মনে করি, বড় বৃত্ত, মাঝারি বৃত্ত ও ছোট বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে O₁, O₂, ও O₃ । আবার, AB ও ছোট বৃত্ত , AB ও মাঝারি বৃত্ত, ছোট বৃত্ত ও বড় বৃত্ত এবং মাঝারি বৃত্ত ও বড় বৃত্ত এর স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে E, E, C, D।

সমাধানের প্রয়োজনে ∆BCD ত্রিভুজ অঙ্কন করি। যেহেতু CD বড় বৃত্তের ব্যাস, সেহেতু ∠CBD = 90°। কারণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।

আবার, ছোট ও মাঝারি বৃত্তদ্বয়ের E বিন্দুতে সাধারণ স্পর্শক AB। তাহলে O₃E⊥AB  ও O₂E⊥AB। কারণ বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব। সুতরাং, CD⊥AB।

যেহেতু CD, O₁ বিন্দুগামী এবং CD⊥AB, সেহেতু CD, AB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাহলে, AE = BE = 6/2 = 3।

Power of point উপপাদ্য হতে পাই— AE∙BE = CE∙DE

বা, 3∙3 = CE∙DE

বা, CE∙DE = 9

বা, 2O₃E∙2O₂E = 9

বা, O₃E = 9/4O₂E … … … (i)

এখন, লাল অংশের ক্ষেত্রফল  = π∙(O₁C)² - π∙(O₂E)² - π∙(O₃E)²

=  π∙(O₂E + O₃E)² - π∙(O₂E)² - π∙(O₃E)

= π∙{O₂E + 9/(4∙O₂E)}² - π∙(O₂E)² - π∙{9/(4∙O₂E)}²

= π∙(O₂E)² + 2∙π∙O₂E∙9/(4∙O₂E) + 81∙π/(16∙O₂E)² - π∙(O₂E)² - 81∙π/(16∙O₂E)²

= 9π/2