গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-১৩)

একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু D, E, F দেওয়া আছে । ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

১. D, E ; E, F , F, D যোগ করি।

২. D বিন্দুতে EF-এর সমান্তরাল, E বিন্দুতে DF-এর সমান্তরাল এবং F বিন্দুতে DE-এর সমান্তরাল রেখা অঙ্কন করি । মনে করি, D বিন্দুতে EF-এর সমান্তরাল রেখা ও F বিন্দুতে DE-এর সমান্তরাল রেখা, D বিন্দুতে EF-এর সমান্তরাল রেখা ও E বিন্দুতে DF-এর সমান্তরাল রেখা এবং E বিন্দুতে DF-এর সমান্তরাল রেখা ও F বিন্দুতে DE-এর সমান্তরাল রেখা যথাক্রমে A, B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।

৩. তাহলে, ∆ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ:

∆BDE ও ∆DEF হতে পাই—

∠BDE = ∠DEF    [∵ AB ∥ EF এবং DE এদের ছেদক]

∠BED = ∠EDF    [∵ BC ∥ DF এবং DE এদের ছেদক]

এবং DE সাধারণ বাহু।

∴ ∆BDE ≅ ∆DEF    [কোণ–বাহু–কোণ উপপাদ্য]

∴ BE = DF … … … (i)

আবার, ∆CEF ও ∆DEF হতে পাই—

∠CEF = ∠DFE    [∵ BC ∥ DF এবং EF এদের ছেদক]

∠CFE = ∠DEF    [∵ AC ∥ DE এবং EF এদের ছেদক]

এবং EF সাধারণ বাহু।

∴ ∆CEF ≅ ∆DEF    [কোণ–বাহু–কোণ উপপাদ্য]

∴ CE = DF … … … (ii)

(i) ও (ii) হতে পাই— BE = DF = CE

∴ E, BC-এর মধ্যবিন্দু।

একইভাবে প্রমাণ করা যায়— D, AB-এর মধ্যবিন্দু এবং F, AC-এর মধ্যবিন্দু।

অতএব, ∆ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।