সবাইকে শুভেচ্ছা! তোমরা নিশ্চয়ই সংখ্যা নিয়ে কাজ করতে ভালোবাসো, তাই না? সংখ্যার জগত আসলেই খুবই চমকপ্রদ এক জায়গা! আর আজ আমরা সেই চমৎকার সংখ্যাতত্ত্বের এক সুন্দর থিওরেম সম্পর্কে জানবো।
ধরো, a,b,x,y,n প্রত্যেকে পূর্ণসংখ্যা এবং ax+by=n । এখন তুমি কি প্রমাণ করতে পারবে, a ও b এর গ.সা.গু অর্থাৎ gcd(a,b) দ্বারা n নিঃশেষে বিভাজ্য?
আচ্ছা, চলো প্রথমে আমরা a,b এর নির্দিষ্ট মান দেওয়া থাকলে x,y এর বিভিন্ন পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য n এর কী কী মান আসে তা বিশ্লেষণ করে দেখি। আমাদের কাজের সুবিধার জন্য আমরা n-কে ‘বিশেষ সংখ্যা’ বলতে পারি, যদি ax+by= n সমীকরণের চলক (x, y) এর ক্ষেত্রে কোনো সমাধান পাওয়া যায়।
এখন, যদি a=3 ও b=6 হয় , সেক্ষেত্রে কোন সংখ্যাগুলো বিশেষ?
নিচের টেবিলটি লক্ষ্য করো:
(এখানে সবার উপরের সারিটিতে x এর বিভিন্ন মান ও সবার বামের কলামে y এর বিভিন্ন মান দেখানো হয়েছে। সারি X ও কলাম Y এর উপাদান 3X+6Y এর প্রতিনিধিত্ব করছে।)
টেবিলে থাকা প্রত্যেকটি বিশেষ সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য। আর gcd(3,6)=3 ।
এবার তোমরা a,b আরও হরেক মান নিয়ে কী কী বিশেষ সংখ্যা আসে তা যাচাই করে দেখতে পারো। ঠিকঠাকভাবে করতে পারলে দেখতে পাবে, a,b এর যেকোনো মানের জন্যই gcd(a,b) বিশেষ সংখ্যা। তো, তাহলে আমাদের সামনে একটি কনজেকচার দাঁড়ায় এবং সেটি হচ্ছে gcd(a,b) সংখ্যাটি সবক্ষেত্রেই বিশেষ।
এমনকি, ax+by= gcd(a,b) সমীকরণের সমাধান (x,y)=(x0,y0) হলে, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা m এর জন্য
a(mx0)+b(my0)=m(ax0+by0)=m gcd(a, b)
অর্থাৎ, gcd(a,b) এর সকল গুণিতক ax+by আকারে প্রকাশযোগ্য। অন্যভাবে বলা যায়, gcd(a, b) এর সকল গুণিতকই “বিশেষ সংখ্যা”।
এখান থেকেই আমরা পাই Bézout এর থিওরেম।
এই থিওরেম বলে—
“a ও b পূর্ণসংখ্যা হলে, ax+by=n সমীকরণটির সমাধান থাকবে যদি ও কেবল যদি gcd(a, b) দ্বারা n নিঃশেষে বিভাজ্য হয়”।
১৭৭৯ সালে ফরাসি গণিতবিদ Étienne Bézout তাঁর Théorie générale des équations algébriques-এ এই থিওরেমটি প্রকাশ করেন।
থিওরেমটিতে বলা “যদি ও কেবল যদি” কথাটি খেয়াল করো।
আসলে এটি দুটি জিনিস বোঝায়,
১. ax+by=n হলে gcd(a, b) দ্বারা n নিঃশেষে বিভাজ্য এবং
২. gcd(a, b) দ্বারা n নিঃশেষে বিভাজ্য হলে এমন দুটি পূর্ণসংখ্যা x0 ও y0 আছে যেন ax0+by0=n হয়।
উল্লেখ্য, ১ নম্বর উক্তিটির পক্ষে আমরা উপরে বিভিন্ন যুক্তি দেখিয়েছি। পরের কোনো পর্বে নিশ্চয়ই চেষ্টা রাখবো ২ নম্বর উক্তিটি প্রমাণ করার।
আজ আর নয়। সকলের সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক।আর হ্যাঁ গণিত উৎসবে অংশগ্রহণ করতে রেজিস্ট্রেশন করো matholympiad.org.bd তে (চলতি ২০২৪ গণিত অলিম্পিয়াডের রেজিস্ট্রেশনের সময়সীমা ১৫ জানুয়ারি ২০২৪ পর্যন্ত)