বলুন তো অবশিষ্ট কত থাকবে?

গণিতের একটি মজার প্রশ্ন দেখুন। যদি (১১ক) + ১১ = ১১০ হয় তাহলে ক-এর মান কত? এই সমস্যাটি আমরা কীভাবে সমাধান করব। খুব সহজ। লক্ষ্য করব, সমীকরণের প্রতিটি সংখ্যার একটি উৎপাদক ১১। সুতরাং আমরা লিখতে পারি ১১(ক + ১) = ১১(১০)। এই সমীকরণ থেকে আমরা পাই, (ক + ১) = ১০। অথবা ক = ৯। মিলিয়ে দেখুন, (১১ক) + ১১ = (১১×৯) + ১১ = (৯৯ + ১১) = ১১০। অবশ্য আরও সহজে উত্তর বের করতে পারি। প্রথমেই ১১০ থেকে সমীকরণের বাঁ পাশের ১১ বাদ দিয়ে দিই। থাকল ৯৯। এবার ৯৯–কে ১১ দিয়ে ভাগ করলে উত্তর ৯।

আরেকটি চমৎকার প্রশ্ন দেখুন। দুটি সংখ্যার বর্গের বিয়োগফল এবং সংখ্যা দুটির যোগফল উভয়ই যদি ৯ হয়, তাহলে সংখ্যা দুটি কত? এর সমাধানের জন্য আমরা ধরে নেব সংখ্যা দুটি ক ও খ। শর্ত অনুযায়ী (ক^২ - খ^২) = (ক + খ)(ক - খ) = ৯ এবং আবার দেওয়া আছে, (ক + খ) = ৯। সুতরাং (ক - খ) = ১। এই দুটি সমীকরণ থেকে আমরা বলতে পারি ২ক = ১০, বা ক = ৫ এবং ২খ = ৮, বা খ = ৪। মিলিয়ে দেখুন, (৫^২ - ৪^২) = (৫ + ৪)(৫ - ৪) = ৯ এবং (ক + খ) = (৫ + ৪) = ৯।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে শুধু মনে মনে হিসাব করে বলুন তো ১০,০০০–কে ১০১ দিয়ে ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?
খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা [email protected] ই-মেইলে আপনাদের উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম : আমি একটি বই খুলে দেখলাম পাশাপাশি পৃষ্ঠা নম্বর দুটির গুণফল ২১০। বলুন তো পৃষ্ঠা নম্বর দুটি কত?

উত্তর
পৃষ্ঠা নম্বর দুটি ১৪ ও ১৫
প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
যেহেতু পৃষ্ঠা নম্বর দুটির গুণফল ২১০, তাই এর উৎপাদকগুলো প্রথমে বের করি। ২১০ = ২×১০৫ = ২×৫×২১ = ২×৫×৩×৭ = (২×৭) × (৩×৫) = (১৪×১৫)। সুতরাং, পৃষ্ঠা নম্বর দুটি যথাক্রমে ১৪ ও ১৫।

এখানে লক্ষণীয়, বইয়ের বাঁ দিকের পৃষ্ঠা নম্বর সব সময় জোড় ও ডান দিকের পৃষ্ঠা নম্বর বিজোড় হয়। তাই আমরা সহজেই পৃষ্ঠা নম্বর দুটি বের করে নিয়েছি।
আমরা অন্যভাবেও উত্তর বের করতে পারি। যেমন ধরে নিই, পৃষ্ঠা নম্বর দুটি যথাক্রমে ক এবং (ক + ১), যেখানে ক একটি জোড় সংখ্যা। সুতরাং (ক)×(ক+১) = ২১০। অথবা (ক^২ + ক - ২১০) = ০। এই সমীকরণ থেকে আমরা পাই, (ক + ১৫)(ক - ১৪) = ০। সুতরাং ক = ১৪, কারণ ক-এর অপর মান (-১৫) গ্রহণযোগ্য নয়, যেহেতু পৃষ্ঠা নম্বর ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং পৃষ্ঠা নম্বর দুটি ১৪ ও ১৫। মিলিয়ে দেখুন, (১৪ X১৫) = ২১০।

আরেকভাবে আমরা এর উত্তর বের করতে পারি। যেহেতু গুণফলের শেষে একটি শূন্য আছে, তাই পৃষ্ঠা নম্বরের একটির শেষ অর্থাৎ এককের ঘরের অঙ্কটি ০ অথবা ৫ হতে হবে। কারণ একটিতে ৫ থাকলে গুণ ফলের শেষ অঙ্কটি ০ হতে পারে, আর ০ থাকলে তো হবেই। এখন আমরা দেখছি, পৃষ্ঠা নম্বর দুটি ১০ ও ১১ হলে গুণফল ১১০ হয়, যা ২১০ এর অনেক ছোট। আবার পৃষ্ঠা নম্বর দুটি ২০ ও ২১ হলে গুণফল ৪২০, যা ২১০ থেকে অনেক বড়। তাহলে পৃষ্ঠা নম্বর দুটির ডান পাশের পৃষ্ঠা নম্বরটি ১০ ও ২০ এর মাঝামাঝি এমন একটি সংখ্যা হতে পারে, যার শেষ অঙ্কটি ৫। এটি অবশ্যই ডান পাশের পৃষ্ঠা নম্বর, কারণ সংখ্যাটি বিজোড়। ১০ ও ২০–এর মাঝে এ রকম একটি সংখ্যা ১৫ হতে পারে কি না, তা পরীক্ষা করে দেখা যায়। (২১০ / ১৫) = ১৪। সুতরাং পৃষ্ঠা দুটি ১৪ ও ১৫। মিলিয়ে দেখুন, (১৪×১৫) = ২১০।