ক্ষুদ্রতম সেই সংখ্যা কত?

একটি জটিল হিসাব কীভাবে সমাধান করা যায় দেখুন। রিনির বর্তমান বয়স তার ছোট ভাইয়ের বয়সের দ্বিগুণ। ৭ বছর আগে তাদের বয়সের যোগফল ছিল ১৩। এখন বলুন তো, ৩ বছর পর রিনির ভাইয়ের বয়স কত হবে? এর উত্তরের জন্য প্রথমে আমরা চিন্তা করব যে রিনির ভাইয়ের বয়স যদি ক হয়, তাহলে রিনির বয়স ২ক। ৭ বছর আগে তাদের বয়সের সমষ্টি = (ক – ৭) + ( ২ক – ৭) = (৩ক – ১৪) = ১৩। সুতরাং ৩ক = (১৩ + ১৪) = ২৭। তাহলে ক = ৯। এখন সহজেই বলতে পারি, ৩ বছর পর রিনির ভাইয়ের বয়স হবে (৯ + ৩) = ১২ বছর।

এ রকম আরেকটি ধাঁধা দেখুন। ছেলের বর্তমান বয়স ৩০ ও মায়ের বয়স ৫০। এখন বলুন তো, কত বছর আগে মায়ের বয়স ছেলের বয়সের দ্বিগুণ ছিল? এর উত্তরের জন্য আমরা দেখব, মায়ের বয়স ছেলের বয়সের চেয়ে (৫০ – ৩০) = ২০ বছর বেশি। মনে করি, ‘ক’ বছর আগে তার মায়ের বয়স ছিল দ্বিগুণ। তাহলে আমরা বলতে পারি, ২ × (৩০ – ক) = (৫০ – ক)। অর্থাৎ (৬০ – ২ক) = (৫০ – ক)। এই সমীকরণ থেকে বলতে পারি, ক = (৬০ – ৫০) = ১০। তার মানে ১০ বছর আগে মায়ের বয়স ছিল ছেলের বয়সের দ্বিগুণ। মিলিয়ে দেখুন। ১০ বছর আগে ছেলের বয়স ছিল (৩০ – ১০) = ২০ এবং মায়ের বয়স (৫০ – ১০) = ৪০।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
বলুন তো, ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সব কটি সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: ২১ ও ২২ দুটি ধারাবাহিক সংখ্যা। এদের যোগফল ৪৩। এখন বলুন তো, এ রকম ধারাবাহিক সংখ্যা কয়টি আছে, যাদের যোগফল ২০০০–এর চেয়ে ছোট?

উত্তর
ধারাবাবাহিক সংখ্যা ১০০০টি
প্রায় সবাই সঠিক উত্তর দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
২০০০–এর চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হলো ১৯৯৯ = (১০০০ + ৯৯৯)। এবং সবচয়ে ছোট যোগফলটি হবে ১ = (০ + ১)। লক্ষ করুন, ১ এবং ১৯৯৯, দুটি সংখ্যাই বিজোড়। এবং সব কটি যোগফলই বিজোড় হবে। কারণ, মনে করি, একটি সংখ্যা ক। তাহলে পরেরর সংখ্যাটি (ক + ১)। এদের যোগফল (২ক +১), যা একটি বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং প্রতিটি ক্ষেত্রে যোগফল একটি বিজোড় সংখ্যা হবে। সুতরাং ২০০০–এর চেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যা = (২০০০ / ২) = ১০০০। অবশ্য আমরা যদি ০–কে হিসাবে না ধরি, তাহলে সবচেয়ে ছোট যোগফলটি হবে (১ + ২) = ৩। সে ক্ষেত্রে মোট ধারাবাহিক সংখ্যা হবে ১০০০–এর চেয়ে ১টি কম = ৯৯৯টি।