যে প্রশ্নে আঞ্চলিক গণিত উৎসব ২০১২

প্রায় দেড় মাস ধরে ১৭টি গণিত অলিম্পিয়াডের মাধ্যমে সাঙ্গ হয়েছিল গণিত উৎসব ২০১২-এর আঞ্চলিক পর্ব। চার ক্যাটাগরিতে আঞ্চলিক উৎসবগুলোর নির্বাচিত কিছু প্রশ্ন ছাপা হলো আজকের গণিত ইশকুলে।প্রাইমারি ক্যাটাগরি সাদিয়ার কাছে সমাধান করার মতো 63টি সমস্যা আছে। সে যখন সমস্যা সমাধান করতে বসে, সে হয় 4টি সমস্যা একত্রে সমাধান করে অথবা একটাও করে না। তাহলে তার সবগুলো সমস্যা কত দিন পরে সমাধান করা হবে? তিনটি সংখ্যার গুণফল তাদের বৃহত্তম সংখ্যাটির 2 গুণ ও ক্ষুদ্রতমটির 6 গুণ। সংখ্যাগুলো কী কী? দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল একটি মৌলিক সংখ্যা হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত? অভীক তোমাকে তিনটি খাতা দিয়েছে। এদের পৃষ্ঠাসংখ্যা যথাক্রমে 100, 120 ও 150। প্রথমটির চেয়ে দ্বিতীয়টির পৃষ্ঠার আকার পাঁচ ভাগের চার ভাগ আর তৃতীয়টির পৃষ্ঠার আকার নয় ভাগের সাত ভাগ। কোন খাতাটি নিয়ে তুমি সবচেয়ে বেশি লিখতে পারবে? তোমার বড় ভাইয়ের ওজন 70 কেজি। সে চায়, প্রতিদিন 3 কেজি করে কমিয়ে ওজন 50 কেজির নিচে নামাবে। তো, চার দিন এভাবে চলার পর সে পঞ্চম দিনে ওজন উল্টো 4 কেজি বাড়িয়ে ফেলে। আগে যত দিন লাগত, তত দিনেই যদি সে ওজন 50 কেজিতে আনতে চায়, তবে তাকে পরের দিনগুলোতে কত কেজি করে কমাতে হবে? p ও p × p + 3 উভয়েই মৌলিক সংখ্যা হলে সকল সম্ভাব্য p-এর যোগফল কত হবে? কোনো বোর্ডে 1 থেকে শুরু করে 59 পর্যন্ত সকল পূর্ণসংখ্যা লেখা আছে। নায়েল এসে যেকোনো দুটিকে মুছে একটির যোগফল লিখে দিয়ে যায়। এ কাজটি সে ততক্ষণ করে, যতক্ষণ না বোর্ডে একটি মাত্র সংখ্যাই বাকি থাকে। সংখ্যাটি কত? 100 ও অন্য যেসব সংখ্যার ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) 200, এ রকম সম্ভাব্য সকল সংখ্যার যোগফল কত? 20টি কমলাকে এমনভাবে তিন বালিকার মধ্যে ভাগ করে দিতে হবে যেন প্রত্যেকের হাতে যতগুলো কমলা আছে, তাদের গুণফল বৃহত্তম হয়। সেই গুণফলটি কত হবে? দশটি গরুর গাড়িতে মোট কয়টি চাকা থাকে? চারটি উৎপাদক রয়েছে, এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত? দুটি সংখ্যার গুণফল এদের ল.সা.গু.-এর 13 গুণ। এদের গ.সা.গু. কত? 18টি চকলেট 12 জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করতে হবে যেন এদের মাঝে 10 জন থাকে, যাদের চকলেট সংখ্যা সমান এবং বাকি 2 জনের চকলেট সংখ্যা সমান হয়। ওই দুজনের প্রত্যেকে কয়টি করে চকলেট পাবে? 13 দ্বারা বিভাজ্য একটি জোড় সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল 12। এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত? তিনটি ভিন্ন ভিন্ন ধরনের মিষ্টি চারজনের মধ্যে কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে ভাগ করে দেওয়া যাবে? একজন একটির বেশি মিষ্টি খেতে পারবে না। 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20—এই ধারাটির পরবর্তী পদটি কী? ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। E বিন্দু BC বাহুর উপর অবস্থিত। BC, BE-এর তিন গুণ। ABCD বর্গ ও ABE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করো। একটি পরীক্ষায় 4টি প্রশ্ন ছিল। কেউই তৃতীয় প্রশ্নটির উত্তর করেনি। প্রথম প্রশ্নটি 80 জন, দ্বিতীয় প্রশ্নটি 60 জন এবং চতুর্থ প্রশ্নটি 70 জন উত্তর করেছে। 30 জন তিনটি প্রশ্নের উত্তর করেছে। মোট পরীক্ষার্থী 100 জন হলে কতজন ঠিক 2টি প্রশ্নের উত্তর করেছে? একটি মোবাইল অপারেটর ঘোষণা দিল যে প্রতি দুই মিনিট কথা বলার জন্য তারা এক মিনিট ফ্রি টকটাইম দেবে। মোট সাত মিনিট কথা বলতে চাইলে তাকে কতক্ষণ কথা বলার সমান টাকা খরচ করতে হবে? 7 এবং 15 উভয়ের দ্বারা বিভাজ্য 5 অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা কত? 5টি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যার যোগফল জোড়। সংখ্যাগুলো সর্বোচ্চ কী কী হতে পারে? দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. তাদের গ.সা.গু.-এর 7 গুণ। তাদের যোগফল 56 হলে গ.সা.গু. কত? একটি দোকানে মিষ্টি বিক্রি করে এভাবে যে, 5টি করে নিলে এই 5টির দাম 10 টাকা, আর 5-এর চেয়ে কম করে কিনলে প্রতিটার দাম 3 টাকা। তোমার 39টি মিষ্টি কিনতে তাহলে কত খরচ হবে? বাঁটুল নিজের পরীক্ষার নম্বর তার ছোট ভাই নন্টেকে বলেছে। যেকোনো সংখ্যা পেলেই নন্টে সেটাকে 4 গুণ করে বলে ফন্টেকে। ফন্টে 6 সংখ্যাটিকে পছন্দ করে না বলে সে কোনো নম্বরে 6 দেখলেই সেটিকে 5 দিয়ে বদলে দেয়। বদলে দিয়ে সে সেই নম্বরটি বলে তারা মা-বাবাকে। তার মা-বাবা ফন্টের কাছে শোনে নম্বর 58। তাহলে বাঁটুল আসলে পেয়েছে কত? 8-এর শেষে দুটি অঙ্ক এমনভাবে যুক্ত করো যেন নতুন তিন অঙ্কের সংখ্যাটি 3, 4 দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং ক্ষুদ্রতম হয়। নতুন তিন অঙ্কের সংখ্যাটি কত? ঢাকা থেকে খুলনায় 6টি ভিন্ন ভিন্ন পথে যাওয়া যায়। আবার ঢাকা থেকে রাজশাহী 4 পথে আর রাজশাহী থেকে খুলনা 5 পথে যাওয়া যায়। তাহলে আমি ঢাকা থেকে সরাসরি কিংবা রাজশাহী হয়ে কয়ভাবে খুলনায় যেতে পারি? কোনো একটি বাংলাদেশ-পাকিস্তান ম্যাচে বাংলাদেশ 358 রান করে। তাহলে বাংলাদেশের ব্যাটসম্যানদের মধ্যে সর্বোচ্চ রানকারীর স্কোর অন্তত কত হবে?জুনিয়র ক্যাটাগরি তিনটি সংখ্যার গুণফল তাদের বৃহত্তম সংখ্যাটির 2 গুণ ও ক্ষুদ্রতমটির 6 গুণ। সংখ্যাগুলো কী কী? তোমার বড় ভাইয়ের ওজন 70 কেজি। সে চায়, প্রতিদিন 3 কেজি করে কমিয়ে ওজন 50 কেজির নিচে নামাবে। তো, চার দিন এভাবে চলার পর সে পঞ্চম দিনে ওজন উল্টো 4 কেজি বাড়িয়ে ফেলে। আগে যত দিন লাগত, তত দিনেই যদি সে ওজন 50 কেজিতে আনতে চায়, তবে তাকে পরের দিনগুলোতে কত কেজি করে কমাতে হবে? 20টি কমলাকে এমনভাবে তিন বালিকার মধ্যে ভাগ করে দিতে হবে যেন প্রত্যেকের হাতে যতগুলো কমলা আছে, তাদের গুণফল বৃহত্তম হয়। সেই গুণফলটি কত হবে? 100 ও অন্য যেসব সংখ্যার ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) 200, এ রকম সম্ভাব্য সকল সংখ্যার যোগফল কত? ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বের করো, যাকে তিনটি ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে দুটি বর্গের বিয়োগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়।  p ও p2 + 2 উভয়েই মৌলিক সংখ্যা হলে সকল সম্ভাব্য p-এর যোগফল কত হবে? ABCD বর্গক্ষেত্র AC কর্ণের ওপর E বিন্দুটি এমনভাবে নেওয়া হয়েছে যে CE বর্গের বাহুর সমান। এখন ABED চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল হলে ABCD বর্গের ক্ষেত্রফল কত? একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-এর শীর্ষ A থেকে ভূমি BC-এর ওপর অঙ্কিত লম্বকে বাইরের দিকে বর্ধিত করে তার ওপর একটি বিন্দু D নেওয়া হলো, যেন ABC এবং CDA সর্বসম হয়। ABDC চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 81 হলে AB-এর দৈর্ঘ্য কত? (25x2-25)2 - (16x2-9)2 = (9x2-16)2 সমীকরণের সকল সমাধান বের করো। দশটি গরুর গাড়িতে মোট কয়টি চাকা থাকে? তোমাকে পাঁচ অঙ্কের একটি সংখ্যা দেওয়া হলো। সংখ্যাটিকে 1000 দ্বারা ভাগ করায় তুমি ভাগশেষ 367 পেলে। সংখ্যাটির শেষের দুটি অঙ্কের যোগফল কত? তিনটি ভিন্ন ভিন্ন ধরনের মিষ্টি চারজনের মধ্যে কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে ভাগ করে দেওয়া যাবে? একজন একটির বেশি মিষ্টি খেতে পারবে না। ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। E বিন্দু BC বাহুর উপর অবস্থিত। BC, BE-এর তিন গুণ। ABCD বর্গ ও ABE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করো। পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার যোগফল একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা। এদের মাঝে কতগুলো সংখ্যা জোড়? ABCD একটি বর্গক্ষেত্র, যার একটি বাহু AB = 8। AD ও BC-এর মধ্যবিন্দু E ও F। AF ও BE-এর ছেদবিন্দু P এবং EC ও DF-এর ছেদবিন্দু Q। PEQF-এর ক্ষেত্রফল বের করো। একটি সারিতে সাজানো 2012টি ঝুড়িকে 1, 2, 3,...2012 হিসেবে চিহ্নিত করা আছে। একটি খরগোশ ঝুড়িগুলোর পাশ দিয়ে দৌড়ে যেতে যেতে প্রতিটিতে একটি করে গাজর রেখে যায়। দ্বিতীয় খরগোশটি প্রতি দুই নম্বর (একটি বাদ দিয়ে পরেরটি) ঝুড়িতে গাজর রাখতে রাখতে যায়, তৃতীয় খরগোশটি প্রতি তিন নম্বর ঝুড়িতে গাজর রাখতে রাখতে যায় এবং এভাবে 2012তম খরগোশটি প্রতি 2012 নম্বর ঝুড়িতে গাজর রাখে। সর্বশেষ কততম ঝুড়িতে বিজোড়সংখ্যক গাজর থাকবে? ABED চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় 900 কোণে C-তে ছেদ করে। AC = BD, DE = 2CD, BD = BE। ABE কোণের মান নির্ণয় করো। একটি মোবাইল অপারেটর ঘোষণা দিল যে প্রতি দুই মিনিট কথা বলার জন্য তারা এক মিনিট ফ্রি টকটাইম দেবে। মোট সাত মিনিট কথা বলতে চাইলে তাকে কতক্ষণ কথা বলার সমান টাকা খরচ করতে হবে? এই ছবিতে সংখ্যারেখার একটি অংশ দেখানো হয়েছে। প্রতিটি চিহ্নিত বিন্দু ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করছে। চিত্রে A-এর মান কত? দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. তাদের গ.সা.গু.-এর 7 গুণ। তাদের যোগফল 392 হলে গ.সা.গু. কত? 16-এর শেষে দুটি অঙ্ক এমনভাবে যুক্ত করো যেন নতুন চার অঙ্কের সংখ্যাটি 3, 4 দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং ক্ষুদ্রতম হয়। নতুন চার অঙ্কের সংখ্যাটি কত? চিত্রে ABC, ADB, BED—তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের AB = 3 এবং AC = 5 হলে BED ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? চিত্র : এই 7টি বৃত্তের মধ্যে যেকোনো দুটিকে নিলে তাদেরকে আমরা একটা ‘জোড়া’ বলব। এখন এ রকম কয়টি জোড়ার বৃত্তগুলো পরস্পরস্পর্শী হবে? কোনো একটি বাংলাদেশ-পাকিস্তান ম্যাচে বাংলাদেশ 358 রান করে। তাহলে বাংলাদেশের ব্যাটসম্যানদের মধ্যে সর্বোচ্চ রানকারীর স্কোর অন্তত কত হবে? 3797 সংখ্যাটির একটি মজার বৈশিষ্ট্য আছে। এটি একটি মৌলিক সংখ্যা এবং যদি এটির ডান থেকে একটি করে অঙ্ক সরিয়ে নিতে থাকি, অর্থাৎ 3797, 797, 97 এবং 7; এরা সকলে মৌলিক সংখ্যা। বাঁ দিক থেকে অঙ্ক সরিয়েও আমরা একই জিনিস দেখতে পারি (3797, 379, 37, 7)। তিন অঙ্কবিশিষ্ট এমন চারটি সংখ্যা বের করো। ABC সমকোণী ত্রিভুজে C = 450 এবং BD, AC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। A, B, C বিন্দুগামী বৃত্ত এবং ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? (1 + x + x2 +...), (1 + x2 + x4+...), (1 + x3 + x6 +...) এই তিনটিকে গুণ করলে গুণফলে X6-এর সহগ কত হবে? 100 ও অন্য যেসব সংখ্যার ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) 200, এ রকম সম্ভাব্য সকল সংখ্যার যোগফল কত?হায়ার সেকেন্ডারি ক্যাটাগরি  এক গণিতবিদ একবার log-এর সূত্র ভুল করে প্রয়োগ করে ও লেখে log (a + b + c) = log a + log b + log c। এরপর সে দেখে যে তার সূত্র ঠিকই কাজ করে। তাহলে a, b, c কত হলে এ রকম হওয়া সম্ভব? 100 ও অন্য যেসব সংখ্যার ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) 200, এ রকম সম্ভাব্য সকল সংখ্যার যোগফল কত? M3 - N3, M, N সকলেই মৌলিক সংখ্যা হলে (M3 + N3) (M + N) = ? 2012টি উৎপাদকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার সঙ্গে 2011টি উৎপাদকবিশিষ্ট একটি সংখ্যা গুণ করলে গুণফলের সর্বোচ্চ কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন মৌলিক উৎপাদক থাকতে পারে? O হচ্ছে ABC-এর পরিকেন্দ্র। বর্ধিত AO, BO ও CO পরিবৃত্তকে যথাক্রমে X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করে। ABC-এর ক্ষেত্রফল 2012 হলে XYZ-এর ক্ষেত্রফল বের করো। বৃত্তস্থ ABC কোণ এক সমকোণ এবং A ও C বিন্দুতে AE ও CD স্পর্শক। তাহলে AE.CD = 100 ও AE + CD = 25 হলে ABC = ? c-এর সকল বাস্তব মানের সেট নির্ণয় করো, যাদের জন্য x4 = (2x - c)2 সমীকরণের চারটি পৃথক পৃথক বাস্তব সমাধান থাকবে। ababab সংখ্যাটির ৬০টি উৎপাদক ও উৎপাদকগুলোর যোগফল 678528। a/b-এর মান নির্ণয় করো। পাশের সংখ্যার ত্রিভুজটিকে আমরা বলছি রিচির ত্রিভুজ। এটি এভাবে 1 থেকে শুরু হয়ে এর পদগুলো দেখানো উপায়ে 1, 2, 3, 4 এভাবে বাড়ছে। প্রথমে 20টি সারির প্রথম পদকে যোগ করলে আমরা কত পাব? দশটি গরুর গাড়িতে মোট কয়টি চাকা থাকে? 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20,...ধারাটির ৫০তম পদটি কী? একটি বাক্সে বিভিন্ন মাপের কিছু লাল বল রয়েছে এবং 5টি একই মাপের কালো বল রয়েছে। কালো বলগুলো সবচেয়ে ছোট লাল বলের সমান। যদি দৈবচয়নে একট বল তোলা হয়, তবে সে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা এবং সবচেয়ে ছোট হওয়ার সম্ভাবনা একই। বাক্সে মোট কয়টি বল রয়েছে? চারটি উৎপাদক রয়েছে, দুই অঙ্কের এমন বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? ABED চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় 900 কোণে C-তে ছেদ করে। AC = BD, DE = 2CD, BD = BE। ABE কোণের মান নির্ণয় করো। পরস্পরকে C বিন্দুতে স্পর্শ করে আছে এমন দুটি বৃত্তের একটির কেন্দ্র A এবং অপরটির কেন্দ্র E। BC ও CD বৃত্ত দুটির একেকটি জ্যা যেখানে B, C, D সমরেখ। B ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকগুলো C বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শকের সঙ্গে যথাক্রমে G ও F বিন্দুতে মিলিত হয়। AC = 2CE এবং CDF-এর ক্ষেত্রফল 4 হলে GBC-এর ক্ষেত্রফল কত? সান্তাক্লজ তোমাকে বারোটি উপহারের বাক্স দিয়েছে। প্রথম বাক্সে 1টি চকলেট আছে, পরবর্তী প্রতি বাক্সে এই সংখ্যাটি দ্বিগুণ হতে থাকে। সান্তা তোমাকে মোট 2012টি চকলেট দেবে, যদি তুমি এমন কয়েকটি বাক্স খুলতে পারো যাদের ভেতরে মোট চকলেট সংখ্যা 2012। যদি তা করতে না পারো, একটি চকলেটও তোমাকে দেওয়া হবে না। তোমাকে কয়টি বাক্স খুলতে হবে? চিত্রের ছকটিতে লেখা প্রতি বর্ণ একেকটি পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে। সংখ্যাগুলো এমনভাবে সাজানো, যাতে প্রতিটি সংখ্যার তার বাঁ দিকে সন্নিহিত ঘরের সংখ্যা এবং নিম্নে সন্নিহিত সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়। h-এর সর্বনিম্ন মান কত? একটি সারিতে সাজানো 2012টি ঝুড়িকে 1, 2, 3,...2012 হিসেবে চিহ্নিত করা আছে। একটি খরগোশ ঝুড়িগুলোর পাশ দিয়ে দৌড়ে যেতে যেতে প্রতিটিতে একটি করে গাজর রেখে যায়। দ্বিতীয় খরগোশটি প্রতি দুই নম্বর (একটি বাদ দিয়ে পরেরটি) ঝুড়িতে গাজর রাখতে রাখতে যায়, তৃতীয় খরগোশটি প্রতি তিন নম্বর ঝুড়িতে গাজর রাখতে রাখতে যায় এবং এভাবে 2012তম খরগোশটি প্রতি 2012 নম্বর ঝুড়িতে গাজর রাখে। সর্বশেষ কততম ঝুড়িতে বিজোড়সংখ্যক গাজর থাকবে? দেওয়া আছে (f o g)(x) = f(g(x)) এবং fn(x) = (f o fn-1) (x) যেখানে f1(x) = f(x)। ধরো, f(x) =x এবং g(x) = x4। (f o g)2012(x)-এর মান নির্ণয় করো। একটি মোবাইল অপারেটর ঘোষণা দিল যে প্রতি দুই মিনিট কথা বলার জন্য তারা এক মিনিট ফ্রি টকটাইম দেবে। মোট সাত মিনিট কথা বলতে চাইলে তাকে কতক্ষণ কথা বলার সমান টাকা খরচ করতে হবে? এই 7টি বৃত্তের মধ্যে যেকোনো দুটিকে নিলে তাদেরকে আমরা একটা ‘জোড়া’ বলব। এখন এ রকম কয়টি জোড়ার বৃত্তগুলো পরস্পরস্পর্শী হবে? 18-এর শেষে দুটি অঙ্ক এমনভাবে যুক্ত করো যেন নতুন চার অঙ্কের সংখ্যাটি 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং ক্ষুদ্রতম হয়। নতুন চার অঙ্কের সংখ্যাটি কত? প্রদত্ত ছক থেকে তিনটি করে বিন্দু নিয়ে কতটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব, যাতে এদের প্রতিটির দুটি বাহু আনুভূমিক ও উলম্ব সরলরেখার সমান্তরাল হয়? 3797 সংখ্যাটির একটি মজার বৈশিষ্ট্য আছে। এটি একটি মৌলিক সংখ্যা এবং যদি এটির ডান থেকে একটি করে অঙ্ক সরিয়ে নিতে থাকি, অর্থাৎ 3797, 797, 97 এবং 7; এরা সকলে মৌলিক সংখ্যা। বাঁ দিক থেকে অঙ্ক সরিয়েও আমরা একই জিনিস দেখতে পারি (3797, 379, 37, 7)। তিন অঙ্কবিশিষ্ট এমন চারটি সংখ্যা বের করো। একটি দোকানে মিষ্টি বিক্রি করে এভাবে যে, 5টি করে নিলে এই 5টির দাম 10 টাকা, আর 5-এর চেয়ে কম করে কিনলে প্রতিটার দাম 3 টাকা। তোমার 39টি মিষ্টি কিনতে তাহলে কত খরচ হবে? 99-এর সঙ্গে কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা গুণ করলে গুণফলটির প্রতিটি অঙ্ক 1 হবে? একটি সমতলে পূর্ণসংখ্যার কার্তেসীয় স্থানাঙ্কবিশিষ্ট পাঁচটি বিন্দু আছে। এখন প্রতিটি বিন্দুর সঙ্গে অপর বিন্দুগুলো যোগ করো এবং সংযোজক সরলরেখাগুলোর মধ্যবিন্দু নাও। অন্তত একটি পূর্ণসংখ্যার কার্তেসীয় স্থানাঙ্কবিশিষ্ট বিন্দু পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?  চিত্রে ABC, ADB, BED—তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের AB = 3 এবং AC = 5 হলে BED ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?সেকেন্ডারি ক্যাটাগরি এক গণিতবিদ একবার log-এর সূত্র ভুল করে প্রয়োগ করে লেখে log (a + b + c) = log a + log b + log c। এরপর সে দেখে যে তার সূত্র ঠিকই কাজ করে। তাহলে a, b, c কত হলে এ রকম হওয়া সম্ভব? ১০টি উৎপাদকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার সঙ্গে পনেরোটি উৎপাদকবিশিষ্ট একটি সংখ্যা গুণ করলে গুণফলের উৎপাদক সংখ্যা সর্বোচ্চ কত হতে পারে? 100 ও অন্য যেসব সংখ্যার ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) 200, এ রকম সম্ভাব্য সকল সংখ্যার যোগফল কত? M3 - N3, M, N সকলেই মৌলিক সংখ্যা হলে (M3 + N3) (M + N) = ? ABC ত্রিভুজে AB = 9, AC = 5, BC = 6 ও তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডক হচ্ছে AD, BF আর CE। এখন ত্রিভুজের অভ্যন্তরে একটা বিন্দু আছে এমন যার থেকে D, E, F বিন্দুত্রয়ের দূরত্ব সমান। ধরি, এ দূরত্ব a। আবার আরেকটি বিন্দু আছে যা থেকে A, B, C বিন্দুত্রয়ের দূরত্ব সমান। ধরি, এই দূরত্ব b। তাহলে a ও b বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে? (25x2 - 25)2 - (16x2 - 9)2 = (9x2 - 16)2 সমীকরণের সকল সমাধান বের করো।  c-এর সকল বাস্তব মানের সেট নির্ণয় করো, যাদের জন্য x4 = (2x-c)2 সমীকরণের চারটি পৃথক পৃথক বাস্তব সমাধন থাকবে।  abbcca সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য। abc-কে 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে 4। aca-কে 7 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে? দশটি গরুর গাড়িতে মোট কয়টি চাকা থাকে? তোমাকে 2012 অঙ্কের একটি সংখ্যা দেওয়া হলো। সংখ্যাটিকে 108 দ্বারা ভাগ করায় তুমি ভাগশেষ 20034 পেলে। সংখ্যাটির শেষের (ডানের) ছয়টি অঙ্কের যোগফল কত? পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার যোগফল একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা। এদের মাঝে কতগুলো সংখ্যা জোড়? (x+7) = (x-7) সমীকরণটির সকল সমাধান বের করো। এই ছবিতে সংখ্যারেখার একটি অংশ দেখানো হয়েছে। প্রতিটি চিহ্নিত বিন্দু ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করছে। চিত্রে A-এর মান কত? পরস্পরকে c বিন্দুতে স্পর্শ করে আছে, এমন দুটি বৃত্তের একটির কেন্দ্র A এবং অপরটির কেন্দ্র E। BC ও CD বৃত্ত দুটির একেকটি জ্যা যেখানে B, C, D সমরেখ। B ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকগুলো C বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শকের সঙ্গে যথাক্রমে G ও F বিন্দুতে মিলিত হয়। AC = 2CE এবং CDF-এর ক্ষেত্রফল 4 হলে GBC-এর ক্ষেত্রফল কত? ABCD একটি বর্গক্ষেত্র, যার একটি বাহু AB = 8। AD ও BC-এর মধ্যবিন্দু E ও F। AF ও BE-এর ছেদবিন্দু p এবং EC ও DF-এর ছেদবিন্দু Q। PEQF-এর ক্ষেত্রফল বের করো। ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। E বিন্দু BC বাহুর উপর অবস্থিত। BC, BE-এর তিন গুণ। ABCD বর্গ ও ABE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করো। একটি সারিতে সাজানো 2012টি ঝুড়িকে 1, 2, 3,...2012 হিসেবে চিহ্নিত করা আছে। একটি খরগোশ ঝুড়িগুলোর পাশ দিয়ে দৌড়ে যেতে যেতে প্রতিটিতে একটি করে গাজর রেখে যায়। দ্বিতীয় খরগোশটি প্রতি দুই নম্বর (একটি বাদ দিয়ে পরেরটি) ঝুড়িতে গাজর রাখতে রাখতে যায়, তৃতীয় খরগোশটি প্রতি তিন নম্বর ঝুড়িতে গাজর রাখতে রাখতে যায় এবং এভাবে 2012তম খরগোশটি প্রতি 2012 নম্বর ঝুড়িতে গাজর রাখে। সর্বশেষ কততম ঝুড়িতে বিজোড়সংখ্যক গাজর থাকবে? সান্তাক্লজ তোমাকে বারোটি উপহারের বাক্স দিয়েছে। প্রথম বাক্সে 1টি চকলেট আছে, পরবর্তী প্রতি বাক্সে এই সংখ্যাটি দ্বিগুণ হতে থাকে। সান্তা তোমাকে মোট 2012টি চকলেট দেবে, যদি তুমি পর পর এমন কয়েকটি বাক্স খুলতে পারো, যাদের ভেতরের মোট চকলেট সংখ্যা 2012। যদি তা করতে না পারো, একটি চকলেটও তোমাকে দেওয়া হবে না। তোমাকে কয়টি বাক্স খুলতে হবে। একটি মোবাইল অপারেটর ঘোষণা দিল যে প্রতি দুই মিনিট কথা বলার জন্য তারা এক মিনিট ফ্রি টকটাইম দেবে। মোট সাত মিনিট কথা বলতে চাইলে তাকে কতক্ষণ কথা বলার সমান টাকা খরচ করতে হবে? 17-এর শেষে দুটি অঙ্ক এমনভাবে যুক্ত করো যেন নতুন চার অঙ্কের সংখ্যাটি 5, 7 দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং ক্ষুদ্রতম হয়। নতুন চার অঙ্কের সংখ্যাটি কত? একটি বৃত্তে a দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট দুটি জ্যা আছে, যাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব a। যদি এ দুটি জ্যা দ্বারা বৃত্তের ছেদকৃত অংশের ক্ষেত্রফল 2 +  হয়, তবে a নির্ণয় করো। ABC সমকোণী ত্রিভুজে C = 450 এবং BD, AC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। A, B, C বিন্দুগামী বৃত্ত এবং ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? x, y দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যেখানে x < y এবং x + y  100। কতটি এ ধরনের (x, y) সম্ভব। ABCD সামান্তরিকে AB = 2 এবং AE = AB আঁকা হয় যেন E, BC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কোণ BAE আর কোণ AEB-এর সমদ্বিখণ্ডক 1200 কোণে মিলিত হয়। তাহলে ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। এই 7টি বৃত্তের মধ্যে যেকোনো দুটিকে নিলে তাদেরকে আমরা একটা ‘জোড়া’ বলব। এখন এ রকম কয়টি জোড়ার বৃত্তগুলো পরস্পরস্পর্শী হবে? 99-এর সঙ্গে কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা গুণ করলে গুণফলটির প্রতিটি অঙ্ক 1 হবে? 3797 সংখ্যাটির একটি মজার বৈশিষ্ট্য আছে। এটি একটি মৌলিক সংখ্যা এবং যদি এটির ডান থেকে একটি করে অঙ্ক সরিয়ে নিতে থাকি, অর্থাৎ 3797, 797, 97 এবং 7; এরা সকলে মৌলিক সংখ্যা। বাঁ দিক থেকে অঙ্ক সরিয়েও আমরা একই জিনিস দেখতে পারি (3797, 379, 37, 7)। তিন অঙ্কবিশিষ্ট এমন চারটি সংখ্যা বের করো। (1 + x + x2 +...), (1 + 2x2 + 4x4 +...), (1 + 3x3 + 6x6+...) এ তিনটিকে গুণ করলে গুণফলে X8-এর সহগ কত হবে?