গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-২২)

∆ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠C = 90°। D, AB এর ওপর এমন একটি বিন্দু যেন AC = BD হয়। যদি ∠BAC = 2∠ACD হয়, তাহলে ∠ABC এর মান বের করো।

ধরি, ∠ACD = x

∴ ∠BAC = 2∠ACD = 2x

এবং ∠ABC = 180° – ∠ACB – ∠BAC = 180° – 90° – 2x = 90° – 2x

আবার আমরা জানি, ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

∴ ∠BDC = ∠ACD + ∠CAD = x + 2x = 3x    

প্রয়োজনীয় অঙ্কন: ∆ABC ত্রিভুজের বাইরে একটি বিন্দু P নিই যেন ∠DBE = 2x এবং ∠BDE = x হয়। C, E যোগ করি। তাহলে নতুন চিত্রটি হবে—

এখন, ∆ADC ও ∆BDE হতে পাই—

∠ACD = ∠BDE = x

∠CAD = ∠DBE = 2x

এবং AC = BD

∴ ∆ADC ≅ ∆BDE     [কোণ–বাহু–কোণ উপপাদ্য]

তাহলে, CD = DE

এখন, ∆CDE ত্রিভুজে CD = DE বলে ∠CED = ∠DCE হবে। কারণ ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান হলে তাদের বিপরীত কোণগুলো সমান হয়।

আবার, ∠CDE = ∠CDB + ∠BDE = 3x + x = 4x

∴ ∠CED = ∠DCE = (180° – 4x)/2 = 90° – 2x

যেহেতু ∠ABC = 90° – 2x = ∠CED, সেহেতু BCDE একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ ∠DCE = ∠DBE     [একই চাপ DE এর ওপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ]

বা, 90° – 2x = 2x

বা, x = 22.5°

এখন, ∠ABC = 90° – 2x = 90 – (2 × 22.5°) = 45°