গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-১৭)
অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতির জন্য গাণিতিক সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, তোমরা আমাদের এখানে যেকোনো গাণিতিক সমস্যা পাঠাতে পারো, আবার চাইলে যেকোনো সমস্যার সমাধানও পাঠাতে পারো। সেখান থেকে বাছাইকৃত লেখা ছাপা হবে প্রথম আলোর গণিত ইশকুলে।
প্রশ্ন:
একটি চার অঙ্কের পূর্ণবর্গ সংখ্যার প্রথম দুটি অঙ্ক অভিন্ন, আবার শেষ দুটি অঙ্ক অভিন্ন। পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি কত ?
সমাধান:
মনে করি, চার অঙ্কের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো— n = aabb
বা, n = 1000a + 100a + 10b + b
বা, n = 1100a + 11b
বা, n = 11(100a + b) … … … (i)
(i) হতে দেখা যাচ্ছে— n, 11 দ্বারা বিভাজ্য। যেহেতু n পূর্ণবর্গ সংখ্যা, সেহেতু এটি 112 দ্বারাও বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ (100a + b), 11 দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, 100a + b = 99a + a + b = (11 × 9a) + (a + b)
∴ (a + b), 11 দ্বারা বিভাজ্য।
এখন, n একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা বলে এর শেষ অঙ্ক, অর্থাৎ b–এর মান হবে— 1 বা 4 বা 5 বা 6 বা 9।
কিন্তু b–এর মান 1 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ a–এর এমন কোনো মান নেই যার জন্য (a + b), 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
তাহলে, (a, b)–এর সম্ভাব্য মান হতে পারে: (7, 4), (6, 5), (5, 6), (2, 9)।
আবার, (i) হতে পাই— n = 112 × (100a + b)/11
যেহেতু n একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ও (100a + b)/11 একটি পূর্ণসংখ্যা, সেহেতু (100a + b)/11 পূর্ণবর্গ হবে।
এখন, (a, b)–এর সম্ভাব্য মান বসিয়ে চেক করে দেখা যাচ্ছে, (a, b) = (7, 4) এর জন্য (100a + b)/11 একটি পূর্ণবর্গ হবে।
∴ চার অঙ্কের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো: 7744।