এশিয়া প্যাসিফিক গণিত অলিম্পিয়াড-২০২২ (সমস্যা-২ এর সমাধান)

প্রিয় গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, গত পর্বে তোমরা এশিয়া প্যাসিফিক গণিত অলিম্পিয়াড-২০২২–এ আসা ১ম সমস্যার সমাধান দেখছ। আশাকরি তোমাদের ভালো লেগেছে। আজকের পর্বে থাকছে সমস্যা ২–এর সমাধান।  

সমস্যা:

ABC এমন একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেন ∠B = 90°। D, CB রেখার ওপর এমন একটি বিন্দু যেন B বিন্দুটি D ও C–এর মধ্যে থাকে। E, AD বাহুর মধ্যবিন্দু এবং F হলো ∆ACD ও ∆ BDE–এর পরিবৃত্তদ্বয়ের দ্বিতীয় ছেদবিন্দু। প্রমাণ কর যে, D বিন্দুর বিভিন্ন অবস্থানের জন্য EF রেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।

সমাধান:

চিত্রে,

• EF রেখা ও CB রেখার ছেদবিন্দু K

• EF রেখা ও ∆ACD–এর পরিবৃত্তের অপর ছেদবিন্দু P

• B বিন্দুতে AD রেখার সমান্তরাল রেখা এবং PA রেখার ছেদবিন্দু Q

ক্লেইম-১: EB রেখা ও PC রেখা সমান্তরাল।

প্রমাণ: 

• ∠KDF = 180° - ∠FDB = ∠FEB  [যেহেতু EFDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]

• ∠KDF = 180° - ∠FDC = ∠FPC  [যেহেতু PFDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]

∴ ∠KDF = ∠FEB = ∠FPC

অর্থাৎ, ED রেখা ও PC রেখা সমান্তরাল।

ক্লেইম-২: ADCP একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম.

প্রমাণ:

• যেহেতু ABD সমকোণী ত্রিভুজ এবং E, অতিভূজ AD–এর মধ্যবিন্দু, সুতরাং AE = EB = DE.

∴ ∠EBD = ∠EDB = ∠ADC

• আবার, যেহেতু EB ∥ PC, সুতরাং ∠EBD = ∠PCB = ∠PCD

∴ ∠ADC = ∠PCB

অর্থাৎ ADCP একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম ৷

∴ AP ∥ DC বা AP ∥ BC

ক্লেইম-৩: B বিন্দুর সাপেক্ষে C বিন্দুর প্রতিফলন হলো K.

প্রমাণ:

• ∆AEP ও ∆KED এ,

∠AEP = ∠KED

∠EAP = ∠EDK

AE = DE

∴ ∆AEP ও ∆KED সর্বসম।

∴ AP = KD

• DQAB চতুর্ভুজে,

AQ ∥ BD এবং AD ∥ BQ.

∴ DQAB একটি সামান্তরিক।

∴ AQ = BD

• যেহেতু DQAB একটি সামান্তরিক এবং E, কর্ণ AD–এর একটি মধ্যবিন্দু; সুতরাং, কর্ণ BQ, E বিন্দুগামী।

• PQBC চতুর্ভুজে,

PQ ∥ BC  [যেহেতু AP ∥ BC] এবং PC ∥ QB  [যেহেতু EB ∥ PC].

∴ PQBC একটি সামান্তরিক।

∴ BC = PQ = AP + AQ = KD + BD = KB

∴ B বিন্দুটি KC রেখাংশের মধ্যবিন্দু।

অর্থাৎ, B বিন্দুর সাপেক্ষে C বিন্দুর প্রতিফলন K.

সুতরাং, D বিন্দুর বিভিন্ন অবস্থানের জন্য EF রেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়, যেটি হলো B বিন্দুর সাপেক্ষে C বিন্দুর প্রতিফলন।