জ্যামিতি পাঠ-৫

জ্যামিতি পাঠ-২ তে আমরা অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত এর ব্যাসার্ধ নিয়ে আলোচনা করেছিলাম। আজকে আমরা এমন একটা সমস্যা সমাধান করব যেখানে ঐগুলো আমাদের কাজে লাগবে। তাহলে আমরা কথা না বাড়িয়ে প্রশ্নটা লিখে ফেলি।

একই ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট চারটি বৃত্ত C₁, C₂, C₃ ও C₄ একটি ত্রিভুজ ABC এর মধ্যে এমনভাবে অঙ্কন করা হয়েছে যেন C₂ বৃত্ত AB, AC বাহুদ্বয়কে, C₃ বৃত্ত AB, BC বাহুদ্বয়কে, C₄ বৃত্ত AC, BC বাহুদ্বয়কে এবং C₁ বৃত্তটি C₂, C₃ ও C₄ বৃত্ত তিনটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। যদি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 হয়, তাহলে C₁ এর ব্যাসার্ধ বের কর।

আমাদের প্রশ্ন লেখা শেষ। এখন সমস্যাটা ভালোমত পড়ে একটা সুন্দর চিত্র অঙ্কন করি।

এখানে O, P, Q ও R যথাক্রমে C₁, C₂, C₃ ও C₄ বৃত্তের কেন্দ্র এবং মনে করি, প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ r।

এখন [∆ABC] = √{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)}   [হেরনের সুত্র]

                    = 84

∴ ∆ABC এর অন্তব্যাসার্ধ = 84/21 = 4 এবং পরিব্যাসার্ধ = (13 × 14 × 15)/(4 × 84) = 65/8

ধরি, I হলো ∆ABC এর অন্তঃকেন্দ্র। A, I ; B, I ; C, I যোগ করি। AI, BI, CI যথাক্রমে P, Q, R বিন্দু দিয়ে গমন করবে। কারণ A বিন্দু থেকে C₂ বৃত্তের দুটি AB ও AC স্পর্শক, তাহলে AP, ∠BAC এর সমদ্বিকণ্ডক। আবার AI ও ∠BAC এর সমদ্বিকণ্ডক। তাহলে A, P, I সমরেখ। একইভাবে বাকিক্ষেত্রেও সমরেখ হয়েছে।

এখন, PQR ত্রিভুজটি ABC ত্রিভুজের সদৃশকোণী ও সদৃশ হবে। কেনো সদৃশকোণী হবে একটু মাথা খাটালেই বুঝতে পারবে। এখন এই দুইটা ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকি।

এখানে O ও O' হলো যথাক্রমে ∆PQR ও ∆ABC এর পরিকেন্দ্র। তাহলে ∆PQR ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ OP = OQ = OR = 2r, কারণ পরস্পর স্পর্শ করেছে এমন দুটি বৃত্তের কেন্দ্র ও তাদের সাধারণ স্পর্শবিন্দু সমরেখ (প্রথম চিত্র)। আবার, ∆ABC ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ OA' = O'B = O'C = 65/8।

এখন ∆OQR ও ∆O'BC সদৃশকোণী ও সদৃশ কারণ ∠ROQ = ∠BO'C এবং QR∥BC।

∴ OQ/O'B = QR/BC

বা, 2r/(65/8) = QR/BC ... ... ... (i)

এইবার ∆PQR ও ∆ABC এর অন্তর্বৃত্ত আঁকি।

∆IPR ও ∆IBC হতে পাই, IJ/IK = QR/BC  [একটু চিন্তা করে দেখো তো কেন এটা সত্যি?]

বা, (4 - r)/4 = QR/BC … … … (ii)   [∵ ∆ABC এর অন্তর্বৃত্ত IK এবং IK = 4]

(i) ও (ii) হতে পাই, 2r/(65/8) = (4 - r)/4

বা, (4 - r)/4 = 16r/65

∴ r = 260/129

তাহলে আমরা r এর মান অর্থাৎ C₁ এর ব্যাসার্ধ পেয়ে গেলাম।