আজ আরেকটি সমস্যা নিয়ে চলে এসেছি। সত্যি বলতে গেলে আজকের সমস্যা বুঝতে আমার নিজেরই অনেক সময় লেগেছে। আজ তোমাদের ৫টা সংকেত দেব। সেখানে আমার আলোচিত সব রকম সমীকরণই আছে। আজ তোমরা নিজে নিজে সমাধান করো পুরোটা।
p > 0 … ... ...(1)
p + q = 15 … ... ...(2)
p2 – s = 9 … ... ...(3)
q + s = 36 … ... ...(4)
pr – q = 15 … ... ...(5)
নিজেদের করা হলে তারপর মিলিয়ে নিতে পারো!
এবার সময় সমাধানের!
(2) আর (4) নম্বর সমীকরণ খেয়াল করে দেখো। উভয়ের সঙ্গেই কিন্তু q আছে।
(2) নম্বর সমীকরণে আছে, p + q = 15
যেহেতু আমাদের সদৃশ পদ হলো q, তাই সেটা দিয়ে অন্য চলক p কে প্রকাশ করি।
বা, p = 15 – q … ... ...(6)
(4) নম্বর সমীকরণে আছে, q + s = 36
এখানেও একই কাজ করি।
বা, s = 36 – q … ... ...(7)
এবার (3) নম্বর সমীকরণে যাও। (6) আর (7) নম্বর সমীকরণ থেকে পাওয়া q দিয়ে প্রকাশ করা p ও s এর মান সেখানে বসিয়ে এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণ বানিয়ে ফেলো।
অর্থাৎ, (3) নম্বর সমীকরণ থেকে,
p2 – s = 9
বা, (15 – q)2 – (36-q) = 9
এখন (a -b)2 কে ভেঙে a2 – 2ab + b2 আকারে লিখে পাই,
152 – 2.15.q +q2 – 36 +q = 9
বা, 225 – 30q + q2 -36 +q = 9
বা, q2 – 29q +180 = 0
এবার আদর্শ সমীকরণ (ax2 + bx + c) এর সঙ্গে তুলনা করে মূল চলক q এর মান বের করো। আমার পাওয়া মান দুটো হলো q=20,9 । ওপরের 2 নম্বর অথবা 6 নম্বর সমীকরণে q এর দুইটা মানের জন্যই আলাদা করে p এর দুইটা মান বের করো।
(6) নম্বর সমীকরণ থেকে পাই,
p = 15 - q
q = 20 হলে, p = 15 – 20 = -5
আবার, q = 9 হলে, p = 15 – 9 = 6 । তাহলে বলাই যায়, q = 20 এর জন্য p = -5 আর q = 9 এর জন্য p = 6। কিন্তু সমস্যা হলো আমাদের শর্তগুলোয় বলা আছে p>0, কিন্তু q = 20 এর জন্য p এর মান ঋণাত্মক আসে, যা শর্তবিরোধী।
ফলে বলা যায়, উক্ত শর্তের আলোকে q = 9, p = 6; দুইটা তো পেয়েই গেলাম। আর বাকি দুই।
(4) নম্বর সমীকরণে বলা ছিল, q + s = 36
বা, s = 36 - q
আমরা তো জানি, q = 9 তাহলে,
s = 36 – 9 = 27
এবার r বের করতে পারলেই শেষ!
কেবল (5) নম্বর সমীকরণে r কে দেখা যাচ্ছে। সেটা হলো, pr – q = 15
এবার r কে এক দিকে রেখে বাকিগুলো অন্য দিকে পাঠিয়ে দাও।
বা, r =(15+q)/p =(15+9)/6=24/6=4
ইউরেকা! চারটাকেই পেয়ে গেলাম!
এবার একটু সাজিয়ে লিখি।
নির্ণেয় সমাধান: p=6, q=9, r=4, s=27।
আজকের অঙ্কটাও শেষ। সঙ্গে আমার সমীকরণ সিরিজটাও শেষ।