গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-৭)

2⁷⁰ + 3⁷⁰ কে 13 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে ?

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের ছোট একটি উপপাদ্য সম্পর্কে জানতে হবে। তাহলে চলো জেনে নিই উপপাদ্যটি।

ফার্মার ছোট উপপাদ্য (Fermat’s Little Theorem):

যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা এবং a যেকোনো অখণ্ড সংখ্যা হয়। তাহলে, (a^p­ – p) সর্বদা p দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে ।

মডুলার অ্যারিথমেটিক নোটেশনে প্রকাশ করে পাই— a^p­ ≡ a (mod p)

ফার্মার উপপাদ্য অনুযায়ী পাই— 2¹³ ≡ 2 (mod 13)

⟹ 2¹² ≡ 1 (mod 13)

⟹ (2¹²)⁵ ≡ 1 (mod 13)

⟹ 2⁶⁰ ≡ 1 (mod 13)

যেহেতু 2⁵ ≡ 6 (mod 13), সেহেতু 2¹⁰ ≡ –3 (mod 13)

∴ 2⁷⁰ ≡ –3 (mod 13) … … … (i)

আবার, 3³ ≡ 1 (mod 13)

⟹ (3³)²³ ≡ 1 (mod 13)

⟹ 3⁶⁹ ≡ 1 (mod 13)

∴ 3⁷⁰ ≡ 3 (mod 13) … … … (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই— 2⁷⁰ + 3⁷⁰ ≡ –3 + 3­­ (mod 13)

⟹ 2⁷⁰ + 3⁷⁰ ≡ 0­­ (mod 13)

সুতরাং, 2⁷⁰ + 3⁷⁰ কে 13 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হবে।