গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-৪)
অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতির জন্য গাণিতিক সমস্যা সমাধানের দক্ষতা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, তোমরা আমাদের এখানে যেকোনো গাণিতিক সমস্যা পাঠাতে পারো, আবার চাইলে যেকোনো সমস্যার সমাধানও পাঠাতে পারো। সেখান থেকে বাছাইকৃত লেখা ছাপা হবে প্রথম আলোর গণিত ইশকুলে।
প্রশ্ন:
ABCD ও A'B'C'D' দুটি সদৃশ সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম, যার প্রত্যেকটির ক্ষেত্রফল 2012 বর্গ মিটার। AB : CD = 3: 1 এবং DD'⟂AB হয়। তাহলে মাঝের লাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত ?
সমাধান:
যেহেতু ABCD ও A'B'C'D' সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম দুটি সদৃশ এবং ক্ষেত্রফল সমান, সেহেতু ট্রাপিজিয়াম দুটি সর্বসম। আবার DD'⟂AB হওয়ায় CC'⟂AB হবে।
এখন, প্রতিসাম্যতা থেকে বলতে পারি—
a) A’C’ = BD, A’D ∥ BC’ এবং ∠C’A’D = ∠DBC’। তাহলে, A’DBC’ একটি সামান্তিক। একইভাবে, ACB’D’ একটি সামান্তরিক। সামান্তরিক দুটি সর্বসম।
b) PN = OM, O’M’ = P’N’, MN ∥ CC’ ∥ DD’এবং M’N’ ∥ AB ∥ A’B’।
c) DM = MC, D’N = NC’, DM’ = M’D’ এবং CN’ = C’N’।
d) OO’PP’ একটি রম্বস।
এখন ধরি, AB = A’B’ = 3x, CD = C’D’ = x এবং CC’ = DD’ = h
আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ½ × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
∴ ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ½ × CC’ × (AB + CD)
= ½ × h × (3x + x)
= ½ × h × 4x
প্রশ্নমতে, ½ × h × 4x = 2012
বা, h = 4024/4x
বা, h = 1006/x … … … (i)
এখন, ∆ACC’ ও ∆PND’ হতে পাই, CC’/PN = AC’/D’N
আবার, D’N = C’D’/2 = x/2 এবং AC’ = AB – BC’ = AB – (NB – NC’) = 3x – (3x/2 – x/2) = 2x
∴ (1006/x)/PN = 2x/(x/2)
বা, PN = 503/2x … … … (ii)
এখন, OP = MN – (PN + OM) = 1006/x – (503/2x + 503/2x) = 503/x … … … (iii)
এবং O’P’ = C’B = NB - NC’ = 3x/2 – x/2 = x … … … (iv)
আবার আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল = ½ × কর্ণ দুটির গুণফল
∴ OO’PP’ রম্বসের বা লাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ½ × OP × O’P’
= ½ × (503/x) × x
= 503/2