বাস্তব মানের সমীকরণ, করমর্দন ও সহমৌলিক সংখ্যার সমস্যা - গণিত উৎসবের প্রস্তুতি (পর্ব-৪)

গত ৩ পর্বে  আমরা গণিত উৎসবের বিভিন্ন সমস্যা নিয়ে আলোচনা করেছি। আজকেও আমরা কয়েকটি সমস্যা ও সমাধান দেখবো।

সমস্যা-১: সকল বাস্তব মানের জন্যে “x” এর মান নির্ণয় করো–

(x²-7x+11)^{(x^2-13x+42)}=1

সমাধান- এখানে আমরা যেটা দেখব তা হল, x এর কোন কোন মানের জন্য এবং উক্ত সমীকরণটিতে এই মান বসালে, উত্তর হিসেবে আমরা 1 পাই।

তো আমরা কয়েকটি Case এ এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করব।

Case-1: আমরা উত্তর 1 পাবো যদি (x²-7x+11)-এর মান 1 হয়। কেননা আমরা জানি, 1ⁿ = 1 হয়। অর্থাৎ, x²-7x+11=1

বা, x²-7x+10=0

বা, (x-2)(x-5)=0

তহলে আমরা পাচ্ছি  x=2,5

Case-2: যদি (x²-7x+11)⁰  হলে তাহলে আমরা উত্তর 1 পাবো। আমরা জানি n⁰=1। অর্থাৎ,

x²-13+42=0

বা, (x-6)(x-7)=0

তাহলে  x=6,7

Case-3: যদি (-1)^2k=1 হয়, যেখানে k যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে আমরা লিখতে পারি, x²-7x+1=-1

বা, x²-7x+12=0

বা, (x-3)(x-4)=0

তহলে আমরা পাই x=3,4। আশা করি তোমরা বুঝতে পেরেছো, তাহলে আমাদের উত্তর হচ্ছে x=2,3,4,5,6,7 অর্থাৎ 6 টি। এটিকে কিন্তু আমরা  7! দিয়েও লিখতে পারি!

সমস্যা-২: কমপক্ষে কতগুলো ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই 5040 দ্বারা বিভক্ত হবে ? 

সমাধান- মনেকরি, কমপক্ষে n সংখ্যক ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার জন্য তার গুণফল 5040 দ্বারা বিভক্ত হবে। অর্থাৎ,

{1∙2∙3∙…∙(n-1) ∙n}/5040 = পূর্ণ সংখ্যা

এখন একটা জিনিস লক্ষ্য করো, ভাজ্যটিকে কিন্তু আমরা এভাবে লিখতে পারি n! অর্থাৎ ফ্যাক্টোরিয়াল আকারে। যারা ফ্যাক্টোরিয়াল কি সেটি জানো না তারা গণিত ইশকুলে প্রকাশিত “গণিতের কিছু মজার বিষয়” আর্টিকেলটি পড়তে পারো। এখন দেখো, তাহলে আমাদের প্রমাণ কিন্তু অনেক সহজ হয়ে গেলো । সুতরাং ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যায় এমন সংখ্যা থাকতে হবে যা 5040 দ্বারা বিভক্ত বা তার প্রত্যেক গুণনীয়ক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। এখন দেখো এখানে বলা হয়েছে কমপক্ষে কতগুলো পূর্ণ সংখ্যা নিলে সেটি 5040 দ্বারা বিভক্ত হবে উত্তরটি হবে একটি পূর্ণ সংখ্যা। এখন একটা জিনিস দেখো তো

5040 = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 বা 7!

এখন, {1∙2∙3∙…∙(n-1) ∙n}/5040

বা, {1∙2∙3∙…∙(n-1) ∙n}/{1∙2∙3∙4∙5∙6∙7}

বা, {1∙2∙3∙4∙5∙6∙7}/{1∙2∙3∙4∙5∙6∙7}=1

যা একটি পূর্ণসংখ্যা এবং আমাদের প্রদত্ত শর্তকে পূরণ করে। সুতরাং কমপক্ষে 7 টি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা নিলে তার গুণফল 5040 দ্বারা বিভাজ্য।

সমস্যা-৩: একটি বিদ্যালয়ে সকল ছাত্র তাদের মধ্যে ও সকল ছাত্রী তাদের মধ্যে করমর্দন  করে। ছাত্রদের করমর্দন সংখ্যা ছাত্রীদের করর্মদন সংখ্যা  থেকে 70 টি বেশি, ছাত্র সংখ্যা ছাত্রী সংখ্যা থেকে 4 জন বেশি হলে ছাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান- ধরি, ছাত্রী সংখ্যা x জন।

ছাত্র সংখ্যা x+4 জন (প্রশ্নমতে) 

তাহলে ছাত্রদের করমর্দনের সংখ্যা হবে ^(x+4)C₂

ছাত্রীদের করমর্দনের  সংখ্যা হবে ^xC₂

প্রশ্নমতে, ^(x+4)C₂ – ^xC₂ = 70

বা, (x+4)!/{(x+4-2)!∙2!}–x!/{(x-2)!∙2!}= 70

বা, (x+4)(x+3)(x+2)!/(x+2)!∙2! – x(x-1)(x-2)!/(x-2)!∙2! = 70

বা, (x+4)(x+3)/2 – x(x-1)/2 = 70

বা, 8x + 12 = 140

বা, x = 16

তাহলে ছাত্রী সংখ্যা 16 জন।

সমস্যা-৪: দশমিক সংখ্যা ব্যবস্থায় ab ও ba দুইটি দুই অঙ্কের সংখ্যা যেখানে a ও b সহমৌলিক। ab ও ba এর গসাগু (a+b)/2,(a+b)  এর মান কতো?

সমাধান- এটি কিন্তু একদমই সহজ একটি সমস্যা। তারপরও অলিম্পিয়াডের মতো একটি জায়গায় এমন প্রশ্ন আসলে আমরা  ভুল করে ফেলি। তো সহজ অংক গুলো  দেখলে আমাদের উচিত মাথা একদমই ঠান্ডা রাখা। এখানে বলা হয়েছে a ও b সহমৌলিক। তাহলে ab ও ba ও সহমৌলিক। এবং আমরা জানি সহমৌলিক সংখ্যার গসাগু 1।

সুতরাং, (a+b)/2=1

বা, a+b = 2

একদমই সহজ। তো আজকে আমরা এখানেই শেষ করছি। তোমরা সবাই ভালো থেকো এবং আপন মনে গণিতচর্চা করতে থাকো।