এশিয়া প্যাসিফিক গণিত অলিম্পিয়াড-২০২২ (সমস্যা ৫–এর সমাধান)
বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
প্রিয় গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, আজকে পর্বে তোমাদের জন্য থাকছে এশিয়া প্যাসিফিক গণিত অলিম্পিয়াড-২০২২–এর সর্বশেষ সমস্যা অর্থাৎ সমস্যা ৫-এর সমাধান।
সমস্যা:
a, b, c, d বাস্তব সংখ্যা যেখানে a2 + b2 + c2 + d2 = 1 । (a - b)(b - c)(c - d)(d - a) এর ক্ষুদ্রতম মান বের করো এবং (a, b, c, d) এর এমন সব মান বের করো, যাতে ক্ষুদ্রতম মানটি পাওয়া যায়।
সমাধান:
ক্ষুদ্রতম মান হলো -1/8।
মোট ৮টি ইকুয়ালিটি কেস রয়েছে। প্রথমটি হলো :
(¼ + √3/4 , -¼ - √3/4 , ¼ - √3/4 , - ¼ + √3/4)
চাক্রিক শিফটিং (অর্থাৎ b = a, c = b, d = c, a = d বসিয়ে) করে আরও 3টি Quadruples পাওয়া সম্ভব। এ ছাড়া সাইন উল্টিয়ে দিয়ে ( অর্থাৎ (a, b, c, d) → (−a, −b, −c, −d) ) আরও 4টি সমতা কেস পাওয়া সম্ভব।
এক্সপ্রেশনটা চাক্রিক হওয়ায়, ধরে নিতে পারি যে a = max{a, b, c, d}।
ধরি, S(a, b, c, d) = (a − b)(b − c)(c − d)(d − a)
আমরা (a, b, c, d) এর এমন মান দিয়েছি, যাতে S(a, b, c, d) = -1/8 হয়। সুতরাং, S(a, b, c, d) ≥ − 1/8 প্রমাণ করতে এমন সব কেস দেখলেই হবে যেখানে S(a, b, c, d) < 0।
কেস-১ : a − b, b − c, c − d, d − a এর মাঝে শুধু একটি ঋণাত্মক।
যেহেতু a = max{a, b, c, d}, তাহলে অবশ্যই d − a < 0। অতএব, a > b > c > d।
এখন, S(a, b, c, d) কে পুনর্বিন্যস্ত করে লিখতে পারি,
S(a, b, c, d) = −(a − b)(b − c)(c − d)(a − d)।
a − b = y, b − c = x, c − d = w লিখি যেখানে w, x, y বাস্তব ধনাত্মক সংখ্যা। মূল সমীকরণে এই মান বসিয়ে পাই,
(d + w + x + y)2 + (d + w + x)2 + (d + w)2 + d2 – 1 = 0 (*)
এবং আমাদের প্রমাণ করা লাগবে যে wxy(w + x + y) ≤ 1/8। (*) কে আমরা d এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হিসেবে বিবেচনা করে পাই:
4d2 + d(6w + 4x + 2y) + {(w + x + y)2 + (w + x)2 + w2 - 1} = 0
d একটি বাস্তব সংখ্যা, অর্থাৎ সমীকরণটির নির্ণায়ক অঋণাত্মক হবে। অতএব,
4 ≥ 4{(w + x + y)2 + (w + x)2 + w2} – (3w + 2x + y)2
= (3w2 + 2wy + 3y2) + 4x(w + x + y)
≥ 8wy + 4x(w + x + y)
= 4{x(w + x + y) + 2wy}
আবার AM-GM থেকে পাই,
wxy(w + x + y) ≤ ½ [{x(w + x + y) + 2wy}/2]2 ≤ 1/8
অতএব, S(a, b, c, d) ≥ −1/8 যেখানে a, b, c, d বাস্তব সংখ্যা এবং a > b > c > d. অসমতাটি সমান হবে, যদি এবং কেবল যদি w = y, x(w + x + y) = 2wy ও wxy(w + x + y) = 1/8 হয়।
এই সমীকরণগুলো সমাধান করে পাই, w4 = 1/16
অর্থাৎ, w = ½ কেননা w > 0।
x এর জন্য সমাধান করে পাই, x(x + 1) = ½ এবং দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে পাই,
x = - ½ + √3/2 ; x > 0
এই মানগুলো বসিয়ে d এর মান পাই, d = - ¼ - √3/4
অতএব, (a, b, c, d) = (¼ + √3/4 , -¼ + √3/4 , ¼ - √3/4 , - ¼ - √3/4) এবং এদের চাক্রিক বিন্যাস।
কেস-২ : a − b, b − c, c − d, d − a এর মধ্যে তিনটি ঋণাত্মক।
a = max{a, b, c, d}, তাহলে a − b ধনাত্মক। সুতরাং, b < c < d < a।
এখন, S(a, b, c, d) = (a – b)(b – c)(c – d)(d – a)
= (a – d)(d – c)(c – b)(b – a)
= S(a, d, c, b)
এখানে, a > d > c > b। কেস-১ থেকে পাই যে S(a, d, c, b) ≥ −1/8।
অতএব বলা যায়, S(a, b, c, d) = S(a, d, c, b) ≥ -1/8
এবং আগের কেসের মতোই অসমতাটি সমান হবে, যখন
(a, b, c, d) = (¼ + √3/4 , -¼ - √3/4 , ¼ - √3/4 , - ¼ + √3/4)
এবং এদের চাক্রিক বিন্যাস।