কতজন শিশু চকলেট পেয়েছে

ইন্টারনেটে ‘ম্যাথ ম্যাজিক’,‘ কিউম্যাথ’ বা এ ধরনের ওয়েব পেজ থেকে গণিতের মজার মজার বিষয় জানা যায়। এ রকম দুটি বিষয় দেখুন। ১ থেকে ৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যে কী বিরাট মাহাত্ম্য, তা আমাদের অনেকেই জানি না। এই ৬টি সংখ্যা থেকে যেকোনো ১টি বেছে নিই। এবার একে ৯ দিয়ে গুণ করি। এরপর ১১১ ও ১০০১ দিয়ে গুণ করি। এবার প্রাপ্ত সংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করি। ভাগফলের যে উত্তর পাব, সেই সংখ্যায় ১, ২, ৪, ৫, ৭ ও ৮ থাকবেই! কী, অসম্ভব মনে হয়? তাহলে হিসাব করে দেখি। ধরা যাক প্রথমে ৪ সংখ্যাটি বেছে নিলাম। এখন পরপর ৯, ১১১, ১০০১ দিয়ে গুণ করি। গুণফল = (৪*৯*১১১*১০০১) = ৩৯৯৯৯৯৬। এবার এই সংখ্যাকে ৭ দিয়ে ভাগ করি। ভাগফল = (৩৯৯৯৯৯৬/৭) = ৫৭১৪২৮। ভাগফলে ১, ২, ৪, ৫, ৭ ও ৮ রয়েছে! ৪-এর পরিবর্তে ১, ২, ৩, ৫ বা ৬ সংখ্যা বেছে নিলেও একই ধরনের উত্তর পাব। একটু চিন্তা করলেই বুঝব কেন এ রকম হয়।

৫ দিয়ে গুণ করার একটি মজার উপায় দেখুন। মনে করি, ৫-কে একটি জোড় সংখ্যা ৮ দিয়ে গুণ করতে হবে। প্রথমে যে সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে, এ ক্ষেত্রে ৮, একে ২ দিয়ে ভাগ করি। (৮/২) = ৪। এখন প্রাপ্ত সংখ্যার শেষে শূন্য বসাই। আমাদের উদাহরণে ৪-এর পর শূন্য বসালে হবে ৪০। এটাই উত্তর। (৫*৮) = ৪০।

যদি বিজোড় সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হয়, তাহলে নিয়মটা একটু অন্য রকম হবে। মনে করি, ৯ দিয়ে গুণ করব। প্রথমে ৫-কে যে সংখ্যা দিয়ে গুণ করব, এ ক্ষেত্রে ৯, সেই সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ করে ২ দিয়ে ভাগ করি। অর্থাৎ (৯-১)/২ = (৮/২) = ৪। এখন শুধু প্রাপ্ত ফলের পর, যে ৫-কে প্রথমে গুণ করছি, সেই ৫ বসিয়ে দিই। আমাদের হিসাব অনুযায়ী সেটা হবে ৪-এর পর ৫ = ৪৫। এটাই উত্তর। (৫*৯) = ৪৫।

দেখলেন তো গণিতে কত মজা!

আমার কাছে বেশ কিছু চকলেট আছে। এর ৪ ভাগের ৩ ভাগ, অর্থাৎ ৩/৪ অংশ কয়েকজন শিশুর মধ্যে সমান ভাগ করে দিলাম। প্রত্যেক শিশু তাদের দেওয়া চকলেটের ১২ ভাগের ১ ভাগ (১/১২) করে চকলেট পেল। এখন বলুন তো শিশুদের সংখ্যা কত? প্রত্যেক শিশু ন্যূনতম কতটি করে চকলেট পেয়েছে? আমার কাছে ন্যূনতম কতটি চকলেট ছিল? আপনার উত্তর আমার ই-মেইলে পাঠাতে পারেন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার এই অনলাইন কলামে।

ধাঁধাটি ছিল এ রকম: সাধারণত দুটি সংখ্যার গুণফলের চেয়ে যোগফলের মান কম হয়। কিন্তু বিশেষ ক্ষেত্রে বেশিও হতে পারে। বীজগণিতের কোনো সূত্র ব্যবহার না করে শুধু মনে মনে হিসাব করে দুই মিনিটের মধ্যে এমন দুটি সংখ্যা বের করুন তো যাদের গুণফলের চেয়ে যোগফল বেশি? এ উত্তর একাধিক হতে পারে।

উত্তর

একটি সংখ্যা ০ অথবা ১ হবে। অপরটি অন্য যেকোনো সংখ্যা হতে পারে। যেমন, ধরা যাক ০ ও ৮। এদের গুণফল (০*৮) = ০ কিন্তু যোগফল (০ + ৮) = ৮, যা গুণফলের চেয়ে ৮ বেশি! একইভাবে, ধরা যাক সংখ্যা দুটি ১ ও ৩৫। এদের গুণফল (১*৩৫) = ৩৫ কিন্তু যোগফল (১ + ৩৫) = ৩৬, যা গুণফলের চেয়ে ১ বেশি!

উত্তর বের করার প্রধান সূত্র হলো ০ ও ১-এর বৈশিষ্ট্য। যেকোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে গুণ করলে ০ হয়ে যাবে, কিন্তু যোগ করলে অন্য সংখ্যাটিই হবে, যা ০-এর চেয়ে অবশ্যই বেশি। অন্যদিকে, ১ সংখ্যাটিকে অন্য যেকোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে অপরিবর্তিত থেকে যায়, কিন্তু যোগ করলে ১ বেড়ে যায়। যেমন ১ ও ১৫। গুণ করলে ১৫, কিন্তু যোগ করলে ১ বেড়ে হয় ১৬।

• আব্দুল কাইয়ুম, সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা
  quayum.abdul@prothomalo.com