কতটি সংখ্যা হতে পারে?

গণিতে এমন কিছু প্রশ্ন ওঠানো যায় যার উত্তর খুব স্বাভাবিক, কিন্তু প্রমাণ করার কৌশল খুব সহজ নয়। যেমন, শূন্য থেকে শূন্য বিয়োগ করলে কত থাকে? এর উত্তর যে শূন্য, সন্দেহ নেই। এটা যদি প্রমাণ করতে হয়, তাহলে প্রথমে আমরা ধরে নেব আমার কাছে ‘ক’ সংখ্যক মারবেল আছে। বন্ধু অপু আমার কাছ থেকে শূন্য সংখ্যক মারবেল নিয়ে গেল। তাহলে আমার কাছে আর কতটি মারবেল থাকল? এর উত্তর ক-সংখ্যক মারবেলই থাকল। কারণ আমার বন্ধু তো আসলে কোনো মারবেলই নেয়নি। তার মানে (ক - ০) = ক। এখন এই সমীকরণে ক = ০ ধরলে পাব (০ - ০) = ০। প্রমাণিত!

একটি মজার খেলা দেখুন। আমরা বন্ধুর জন্মদিনের অনুষ্ঠানে গণিতের এই খেলাটি দেখাতে পারি। আমি ক্যালকুলেটরে ২৭১ সংখ্যাটি লিখে একটি গুণচিহ্ন (অথবা *) লিখলাম। এরপর আমার বন্ধুকে বললাম সে যেন ১ থেকে ৯ পর্যন্ত যেকোনো একটি অঙ্ক লিখতে। এবার ক্যালকুলেটরে (=) চিহ্ন টিপতে বললাম। গুণফল বের হলো, কিন্তু সেটা কত, তা আমি জানতে চাইলাম না। তাকে শুধু বললাম গুণফল যা-ই হোক, একে ক্যালকুলেটরে ৪১ দিয়ে গুণ করতে। উত্তর দেখে বন্ধুর চোখ ছানাবড়া! সে ১ থেকে ৯ এর মধ্যে যে অঙ্কটি লিখেছিল, শেষ গুণফলটিতে শুধু সেই অঙ্কটিই সারি সারি পাঁচবার সাজানো রয়েছে। এটা কেন হয় তা জানার জন্য আমরা ২৭১-কে ৪১ দিয়ে গুণ করে দেখতে পারি। (২৭১×৪১) = ১১১১১। অর্থাৎ পরপর পাঁচটি ১। এবার সহজেই বুঝতে পারছি একে ১, ২, ৩, ..., ৯ যে অঙ্ক দিয়েই গুণ করি না কেন, সেই অঙ্কটিই পাঁচবার পরপর আসবে। ৭ দিয়ে গুণ করলে হবে ৭৭৭৭৭, ৩ দিয়ে গুণ করলে হবে ৩৩৩৩৩ ইত্যাদি।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
দুইটি ২ ও তিনটি ৩, অর্থাৎ ২, ২ এবং ৩, ৩, ৩ এই পাঁচটি অঙ্ককে বিভিন্নভাবে সাজিয়ে পাঁচ অঙ্কের কতটি স্বতন্ত্র সংখ্যা গঠন করা যায়? খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail.com ই-মেইলে আপনাদের উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: এমন চারটি পৃথক সংখ্যা বের করুন তো যাদের বিপরীত সংখ্যাগুলোর যোগফল হবে ১? অর্থাৎ এমন চারটি পৃথক সংখ্যা ক, খ, গ ও ঘ বের করতে হবে যেন (১/ক + ১/খ + ১/গ + ১/ঘ) = ১।

উত্তর
এর একাধিক উত্তর হতে পারে। সংখ্যা চারটি ২, ৪, ৬ ও ১২ হতে পারে। আরেকটি উত্তর হতে পারে ২, ৪, ৫ ও ২০। ২, ৩, ৭ ও ৪২ আরেকটি উত্তর হতে পারে।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
প্রথমে আমরা ট্রায়াল অ্যান্ড এরার পদ্ধতিতে তিনটি সংখ্যা যেমন, ২, ৩, ৪ অথবা ২, ৪, ৬ ধরে দেখব এদের বিপরীত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত হয়। যদি ২, ৪ ও ৬ ধরি, তাহলে (১/২ + ১/৪ + ১/৬) = (১১/১২) হয়। তাহলে এর সঙ্গে চতুর্থ সংখ্যাটি যদি ১২ ধরি তাহলে পূর্বের তিনটি সংখ্যার বিপরীত সংখ্যাগুলোর যোগফলের সঙ্গে (১/১২) যোগ করলে পাব ((১১/১২ + ১/১২) = (১২/১২) = ১। একইভাবে ২, ৪, ৫ ও ২০ বা অন্য চারটি সংখ্যা চারটি নির্ণয় করতে পারি।

আব্দুল কাইয়ুম, সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা