বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
⊳ 1-কে 0 দিয়ে ভাগ এবং 0-কে 0 দিয়ে ভাগ করলে কী হবে ?
⊳⊳ 1-কে 0 দিয়ে ভাগ হলো একটা ‘অসংজ্ঞায়িত’ (undefined) বিষয়। এই বিষয়টি আলোচিত হয় লিমিটের ধারণা থেকে। আমরা বিষয়টি বোঝার জন্য একটি ফাংশন ও সংখ্যারেখা বিবেচনা করব।
ধরি, f(x) = 1/x
এখন, x = 1 হলে, f(1) = 1
x = 1/2 হলে, f(1/2) = 2
x = 1/3 হলে, f(1/3) = 3
… … … … … …
… … … … … …
x = 1/100 হলে, f(1/100) = 100
… … … … … …
… … … … … …
ফাংশনের মান ও সংখ্যারেখা থেকে দেখা যাচ্ছে, x-এর মান ডান দিক থেকে যতই শূন্যের কাছাকাছি হচ্ছে অর্থাৎ কমতে থাকছে, ততই ফাংশনের মান বড় হতে থাকছে, মানে ধনাত্মক অসীমের দিকে সরে যাচ্ছে।
তাহলে ফাংশনটি থেকে বোঝা যাচ্ছে আমরা যখন ঠিক শূন্যে পৌছাব, তখন ধনাত্মক অসীম (+∞) পাব।
আবার, x = -1 হলে, f(-1) = -1
x = -1/2 হলে, f(-1/2) = -2
x = -1/3 হলে, f(-1/3) = -3
… … … … … …
… … … … … …
x = -1/100 হলে, f(-1/100) = -100
… … … … … …
… … … … … …
ফাংশনের মান ও সংখ্যারেখা থেকে দেখা যাচ্ছে, x-এর মান বাঁ দিক থেকে যতই শূন্যের কাছাকাছি হচ্ছে অর্থাৎ বাড়তে থাকছে, ততই ফাংশনের মান ছোট হতে থাকছে, মানে ঋণাত্মক অসীমের দিকে সরে যাচ্ছে।
তাহলে ফাংশনটি থেকে বোঝা যাচ্ছে আমরা যখন ঠিক শূন্যে পৌছাব, তখন ঋণাত্মক অসীম (-∞) পাব।
কিন্তু আগে আমরা পেয়েছিলাম ধনাত্মক অসীম (+∞), আবার এখন পেলাম ঋণাত্মক অসীম (-∞)।
তাহলে আমরা কোনো একটি নির্দিষ্ট মান পাচ্ছি না। আর এই রকম ঝামেলা হলেই বিষয়টাকে অসংজ্ঞায়িত বলে বিবেচনা করা হয়।
এবার বিষয়টাকে একটু গাণিতিকভাবে বুঝা যাক। তার জন্য আমাদের দুইটা সহজ শর্ত দরকার।
i) a × 0 = 0
ii) (a/k) × k = a
এখন ধরি, n/0 = x ; যেখানে, n ≠ 0
বা, (n/0) × 0 = x × 0 [উভয় পক্ষকে 0 দিয়ে গুণ করে]
বা, n = 0 [(i) ও (ii)-এর শর্ত অনুযায়ী]
কিন্তু আমরা ধরে নিয়েছিলাম n ≠ 0, আর আমরা পেয়েছি n = 0 ; যাহা শর্তবিরোধী।
অতএব n/0 আকার সংজ্ঞায়িত নয় অর্থাৎ অসংজ্ঞায়িত। তার মানে -1/0, -2/0, 1/0, 2/0 ইত্যাদি এই ধরণের সব আকার অসংজ্ঞায়িত।
আবার, 0-কে 0 দিয়ে ভাগ করাটা হলো ‘অনির্নেয়’ (indeterminate)।
ধরি, n/0 = x ; যেখানে, n = 0
বা, (n/0) × 0 = x × 0 [উভয় পক্ষকে 0 দিয়ে গুণ করে]
বা, n = x × 0 [(ii) এর শর্ত অনুযায়ী]
বা, 0 = x × 0
0 = x × 0 সমীকরণটা x-এর সব মানের জন্য সত্য অর্থাৎ এর সমাধান অসীম সংখ্যক। কিন্তু ঠিক মানটা কী হবে তা আমরা নির্ণয় করতে পারি না। তাই 0/0 আকার হলো ‘অনির্নেয়’।
অনেকের মনে প্রশ্ন থাকতে পারে যে ‘অনির্ণেয় আকার’ কী ‘অসংজ্ঞায়িত’ বলা যেতে পারে? উত্তর হলো হ্যাঁ। যেটাই আমাদের হিসাবে ঝামেলা তৈরি করবে, সেটাই হলো ‘অসংজ্ঞায়িত’। তবে ‘অনির্ণেয় আকার’ হলো ‘অসংজ্ঞায়িত’ আকারের মধ্যে একটি বিশেষ ক্ষেত্র।
তাই বলা যেতে পারে, সব অনির্ণেয় আকারই অসংজ্ঞায়িত, কিন্তু সব অসংজ্ঞায়িত আকারই অনির্ণেয় নয়।