রাস্তা খোঁজার অংক, মনোরম মৌলিক সংখ্যা ও লাকি বাইনারি সংখ্যা - গণিত উৎসবের প্রস্তুতি (পর্ব-৩)

গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, আশা করি তোমরা সবাই ভালো আছো। আজকে ২০২৪ সালের গণিত উৎসবের প্রস্তুতির ৩য় পর্ব নিয়ে হাজির হয়েছি।

আজকেও আমরা কিছু সমস্যা ও সমাধান কৌশল নিয়ে আলোচনা করবো। তার  আগে বলে রাখি আগে তোমরা সমস্যা গুলো সমাধান করার চেষ্টা করবে তারপর উত্তর মিলিয়ে নেবে। তো চলো শুরু করা যাক।

সমস্যা-১: ঝিনাইদহ শহরে p সংখ্যক এলাকা সর্বোচ্চ একটি রাস্তা দিয়ে সংযুক্ত। আবার ঐ শহরে মোট রাস্তার সংখ্যাও p। প্রমাণ করো, ঐ শহরে অন্তত এমন একটি এলাকা আছে যেখান থেকে চলতে শুরু করে একই রাস্তা দুবার ব্যবহার না করে ঐ এলাকায় ফিরে আসা সম্ভব।

সমাধান: যেহেতু এলাকার সংখ্যা p এবং রাস্তার সংখ্যা p, সুতরাং প্রতিটি এলাকার দুই প্রান্তে দুটি রাস্তা। অর্থাৎ যেকোনো একটি এলাকা থেকে শুরু করে ঘুরে আবার সেই এলাকায় ফিরে আসা যাবে। নিচের ছবিটি দেখলে ভালো করে বুঝতে পারবে।

সমস্যা-২: যদি এমন একটি মৌলিক সংখ্য p থাকে যার ছোট সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা q এর জন্যে p+2q সংখ্যাটিও মৌলিক হয়, তবে p সংখ্যাটিকে ‘মনোরম মৌলিক সংখ্যা বলা’ হয়। তাহলে সবচেয়ে বড় মনোরম মৌলিক সংখ্যাটি কত ?

সমাধান: আমরা প্রথমে কয়েকটি ছোট মৌলিক সংখ্য দেখি— 2, 3, 5, 7।

এখন যদি আমরা p ও q এর জন্যে মৌলিক সংখ্যা হওয়ার শর্তটি দেখি তাহলে দেখা যায় p এর চেয়ে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা q এর সাথে দ্বিগুণের যোগফলও একটি পূর্ণসংখ্যা হবে।তাহলে কিন্তু ছোট কয়েকটি মান বসিয়ে আমরা এটা দেখতে পারি। আমরা প্রথম থেকেই শুরু করি।অর্থাৎ 3 একটি মৌলিক সংখ্যা এবং এর আগের সংখ্যাগুলো 2 ও 1 যা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।তো p = 3 ও q = 2 বসিয়ে পাই 3 + (2×2) = 7 যা একটি মৌলিক সংখ্যা।আবার p = 3 ও q = 1 বসিয়ে পাই 3 + (2×1) = 5 এটিও একটি মৌলিক সংখ্যা।অর্থাৎ 3 এর ছোট সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্যে শর্তটি মেনে চলে।তাহলে আমরা বলতে পারি সবচেয়ে বড় মনোরম মৌলিক সংখ্যাটি 3।আচ্ছা এখন একটু লক্ষ করো, 3 ছাড়া আরো তো মৌলিক সংখ্যা আছে যেগুলোর থেকে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাও বিদ্যমান।তাহলে 3 ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা মনোরম মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না? যেমন: 5 একটি মৌলিক সংখ্যা এবং এর ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 1, 2, 3, 4।এখন এই মানগুলো যদি শর্তে বসিয়ে দেখো তাহলে দেখবে p + 2q সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য মৌলিক হবে না।একইভাবে 5 থেকে বড় বাকি মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রেও 1, 2, 3, 4 এই সংখ্যাগুলো বিদ্যমান থাকবে। তাহলে বলা যায়, 3 থেকে বড় কোনো মনোরম মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যাবে না। 

সমস্যা-৩: 2³ × 5⁴ × 10⁵ এ কয়টি অঙ্ক আছে ?

সমাধান: 2³ × 5⁴ × 10⁵

→ 2³ × 5³ × 5 × 10⁵

→ 10³ × 5 × 10⁵

→ 10⁸ × 5

→ 500000000

সুতরাং উক্ত সংখ্যাটিতে 9 টি অঙ্ক আছে।

সমস্যা-৪: রাফসান ভাইয়া ঠিক করলো যে, সে ◆ চিহ্ন ব্যবহার করে কিছু বাইনারি অপারেশনের কাজ করবে। রাফসান ভাইয়ার ‘লাকি বাইনারি’ সংখ্যাটি বের করো যা 12◆20 অপারেশনে পাওয়া যাবে। হিন্টস: 5◆8 = 40; 6◆8 = 12; 4◆12 = 3; 10◆14 = 35।

সমাধান: আমরা যদি হিন্টস গুলো লক্ষ করি তাহলে দেখব যে প্রতিটি ক্ষেত্রে মান বের করা হয়েছে ◆ এর আগের ও পরের সংখ্যাটির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর অনুপাত থেকে।

যেমন: 5 ও 8 এর ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. এর অনুপাত 40/1 = 40

আবার 4 ও 12 এর ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. এর অনুপাত 12/4 = 3

10 ও 14 এর ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. এর অনুপাত 70/2 = 35

সুতরাং, রাফসান ভাইয়ার লাকি সংখ্যাটি হলো 12◆20 = 60/4 = 15

সমস্যা-৫: একটি মৌলিক সংখ্যা N নির্ণয় কর যার জন্যে 13N + 3 একটি মৌলিক সংখ্যা হয়।

সমাধান: এখানে আমাদের একটি মৌলিক সংখ্যা বের করতে বলা হয়েছে যার জন্যে উক্ত শর্তটিও মৌলিক হয়। আমরা যদি একটুখানি দেখি তাহলে দেখব প্রথম মৌলিক সংখ্যা 2 এর জন্যেই শর্তটি ঠিক থাকে। অর্থাৎ N = 2 হলে, (13 × 2) + 3 = 29; যা একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং একটি মৌলিক সংখ্যা যার জন্যে 13N + 3 ও মৌলিক হয়। আর সেটি হলো N = 2।

আজকে এখানেই শেষ করছি, দেখা হবে পরর্বতী পর্বে, ততক্ষন গণিতচর্চা করতে থাকো আপনমনে।