গণিত ইশকুলে বছরজুড়ে গণিত শিখি
আজকের আলোচনা পুরোটাই ক্যালকুলাস নিয়ে। আগের পর্বে বলেছিলাম আজকে তোমাদের মধ্যে অনেকেরই হয়তো ক্যালকুলাসে হাতেখড়ি হতে চলেছে। আগের পর্বে কার্ভের ঢালের পজিটিভ পরিবর্তন এবং গুরুমান বিন্দুতে ঢালের পরিবর্তন শূন্য হয়ে যাওয়ার ফলে ফার্স্ট ডেরিভেটিভ শূন্য হওয়ার পুরো বিষয়টা সহজে বোঝানোর চেষ্টা করেছিলাম। একই ঘটনা লঘুমানের ক্ষেত্রেও হয়।
B বিন্দু অতিক্রম করে পরবর্তী বিন্দুগুলোর জন্য x-অক্ষের সাপেক্ষে y-অক্ষের পরিবর্তন নেগেটিভ হয়, সব বিন্দুর ঢাল x-অক্ষের পজিটিভ দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে (চিত্রে x-অক্ষের পজিটিভ দিকের সাথে ঘড়ির কাঁটার দিকে সূক্ষ্মকোণ আকারে দেখানো হয়েছে, যা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে হিসাব করলে স্থূলকোণ পাওয়া যাবে) এবং D বিন্দুতে পৌঁছে ইনপুট x এর জন্য y তার সর্বনিম্ন মান আউটপুট দেয়। এই বিন্দুর মানকে আমরা বলছি লঘুমান। গুরুমান বিন্দুর ঠিক পরের বিন্দু থেকে লঘুমান পর্যন্ত প্রতিটা বিন্দুতে y-অক্ষের পরিবর্তন নেগেটিভ হয়েছে, ফলে ঢাল তথা ফার্স্ট ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হবেই। তবে, লঘুমান বিন্দুতে y-অক্ষের পরিবর্তন শূন্য হওয়াতে ফার্স্ট ডেরিভেটিভের মান গুরুমানের ন্যায় শূন্যই হবে। আদিবিন্দু বা স্টার্টিং পয়েন্ট থেকে লঘুমান নাকি গুরুমানের দিকে যাওয়া হচ্ছে, সেটা আমরা ফার্স্ট ডেরিভেটিভ থেকে জেনে ফেললেও কোনো একটা বিন্দু লঘুমান নাকি গুরুমান প্রকাশ করে সেটা বোঝার কোনো উপায় এখনও বের করতে পারলাম না। কারণ, উভয় বিন্দুতে ফার্স্ট ডেরিভেটিভ তো শূন্য।
লক্ষ করোx-অক্ষের সাপেক্ষে কিন্তু ঢাল নিজেও পরিবর্তন হচ্ছে। অর্থাৎ ফার্স্ট ডেরিভেটিভ পরিবর্তিত হচ্ছে। তাহলে আমরা যদি ফার্স্ট ডেরিভেটিভকে x এর সাপেক্ষে আবার ডিফারেনশিয়েট করে দিই, তাহলে কী হবে? চলো করে দেখি। এখানে ঢালের পরিবর্তন (dm/dx) = d(m2-m1)/dx; m1 = আদি ঢাল, m2 = পরিবর্তিত ঢাল, dm = ঢালের পরিবর্তন, dx = x-অক্ষের পরিবর্তন। এবার, আমাদের গ্রাফে আবার ফিরে যাবার সময় হয়েছে। AB অংশে আমরা দেখেছি যে ঢালের মান ক্রমশ হ্রাস পায় এবং গুরুমানে পৌঁছানো মাত্রই সেটা শূন্য হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে বলা চলে dm নেগেটিভ, অতএব dm/dx নেগেটিভ। যেহেতু ঢালের পরিবর্তন আমাদের মূল ফাংশনের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ, তাই আমরা বলতে পারি এই অংশে সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হবে। আবার, BC অংশে ঢালের মান x-অক্ষের পজিটিভ দিকের সাথে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে উৎপন্ন স্থূলকোণের কারণে নেগেটিভ (tanθ = -m ; 90°<θ<180°)। পরপর দুইটা বিন্দুর ঢালের পরিবতর্ন নেগেটিভ থাকবে, অর্থাৎ ঢাল হ্রাস পাবে। এখান থেকে বলা যায় dm নেগেটিভ, অতএব dm/dx নেগেটিভ, BC অংশে সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ থাকে। একই ধারাবাহিকতায়, CD অংশে কিন্তু ক্রমশ ঢালের মান বাড়তে থাকে। C বিন্দুর পরবর্তী যেকোনো দুইটা বিন্দুতে ঢাল x-অক্ষের সাথে θ = 95° এবং α = 100° কোণে অবস্থান করলে dm = tan(α)-tan(θ) = tan(100)-tan(95) = 5.758, অর্থাৎ ঢাল বৃদ্ধি পাবে এবং সেকেন্ড ডেরিভেটিভ পজিটিভ হবে। DE অংশে আবার ঢালের পরিবর্তন পজিটিভ হয়ে যায় অর্থাৎ সেকেন্ড ডেরিভেটিভ পজিটিভ চলে আসে। আমার বোঝানোর পার্ট শেষ, এখন তোমাদের গ্রাফ দেখে বিষয়টা বোঝার সময়।
গ্রাফ অ্যানালাইসিস: AB অংশে ঢালের মান হ্রাস পেতে থাকে, ফলে ফার্স্ট ডেরিভেটিভ পজিটিভ হলেও সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ চলে আসে। এই অংশে x-অক্ষের সাপেক্ষে y-এর মান সর্বদা পজিটিভ, সর্বনিম্ন শূন্য। ফলে, এখানে অবনতির কোনো সম্ভাবনা নেই। গুরুমান বিন্দুতে উক্ত ফাংশনে x ইনপুটের জন্য y-এর সর্বোচ্চ মান প্রদর্শিত হয়, সেখানে চরম উন্নতি বিরাজ করে। অন্যদিকে CD অংশে ঢালের পরিবর্তন পজিটিভ হলেও ঢাল কিন্তু নেগেটিভ। কারণ, x-অক্ষের সাপেক্ষে y-এর মান হ্রাস পেতে পেতে লঘুমান বিন্দুতে উক্ত ফাংশনে x ইনপুটের জন্য y-এর সর্বনিম্ন মান প্রদর্শিত হয় এবং সেখানে চরম অবনতি হয়। গ্রাফের এই অংশে y-এর নেগেটিভ পরিবতর্ন হয়, ফলে উন্নতির কোনো সম্ভাবনা নেই।
জীবনের সঙ্গে এই গ্রাফের সম্পর্ক: উত্থান-পতন নিয়েই আমাদের জীবনকে যদি এই গ্রাফের সঙ্গে তুলনা করি এবং উন্নতি বলতেই গুরুমান বিন্দুর দিকে অগ্রসর, অবনতি বলতে লঘুমান বিন্দুর দিকে পতন বিবেচনা করি, তবে—গুরুমান বিন্দুতে ফার্স্ট ডেরিভেটিভ শূন্য, সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ; y-অক্ষের পজিটিভ পরিবর্তন হতে থাকে, ফাংশনে x-এর কোনো একটা মানের জন্য y তার সর্বোচ্চ আউটপুট দেয়। অন্যদিকে, লঘুমান বিন্দুতে ফার্স্ট ডেরিভেটিভ শূন্য, সেকেন্ড ডেরিভেটিভ পজিটিভ; ফাংশনে x-এর কোনো একটা মানের জন্য y সর্বনিম্ন আউটপুট দেয়। আমাদের জীবনে উন্নতি ঘটতে হলে সেটাকে গুরুমান বিন্দুতে থাকতে হবে, যেখানে ফার্স্ট ডেরিভেটিভ শূন্য এবং সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ।
এ জন্যই কাউকে যদি বলা হয়, ‘তোমার জীবনের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হোক’— তার মানে তার জীবনের সর্বোচ্চ আউটপুট কামনা করা হয়েছে। পুরো কথাটা এমন হবে— ‘তোমার জীবনের ফার্স্ট ডেরিভেটিভ শূন্য এবং সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হোক’, তাহলে বিষয়টা আরও একটু স্পেসিফিক হয়।