গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-২৩)

ABCD একটি সামান্তরিকে BC ও CD এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F। AE ও AF, BD কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। MN = 4 হলে, BD এর মান বের করো।

সমাধানের সুবিধার্থে A, C যোগ করি। মনে করি, AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে চূড়ান্ত চিত্রটি হবে—

আমরা জানি,

a) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।  

b) ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সম্পাত বিন্দুতে 2: 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

(a) অনুযায়ী AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাহলে, AO = OC এবং BO = OD।

এখন, ∆ABC ত্রিভুজে AE ও BO মধ্যমাদ্বয় M বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, (b) অনুযায়ী— BM: MO = 2: 1

বা, BM/MO = 2/1

বা, BM = 2MO … … … (i)

আবার, ∆ADC ত্রিভুজে AF ও DO মধ্যমাদ্বয় N বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, (b) অনুযায়ী— DN: NO = 2: 1

বা, DN/NO = 2/1

বা, DN = 2NO … … … (ii)

এখন, BD = BM + MN + ND

বা, BD = 2MO + MN + 2NO

বা, BD = 2(MO + NO) + MN

বা, BD = 2MN + MN

বা, BD = 3MN

বা, BD = 3∙4

∴ BD = 12