বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
শুধু জ্যামিতি করলেই চলবে না, সাথে কিছু নাম্বার থিওরিও দরকার! তাহলে চল দেখে নেওয়া যাক ২টি নাম্বার থিওরির সমস্যা আর তাদের সমাধান।
প্রমাণ করো যে, সব পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য,
i) n5 – 5n3 + 4n, 120 দিয়ে বিভাজ্য ।
ii) n2 + 3n + 5, 121 দিয়ে বিভাজ্য নয় ।
শুরতেই সমস্যা দুটি দেখে যে প্রশ্নগুলো মাথায় আসে তা হলো, 120 আর 121 সংখ্যা দুটিই কেন নেয়া হলো ? রাশিগুলোরই বা কী বৈশিষ্ট্য ? প্রথম দেখাতেই যেহেতু এর উত্তর বোঝা যাচ্ছে না, তাহলে চল শুরু করা যাক তদন্ত। শুরুতেই প্রথম সমস্যাটি নিয়ে তদন্ত করা যাক।
প্রথম সমস্যায় দেয়া রাশি n5 – 5n3 + 4n তে n এর কিছু ছোট মান বসিয়ে দেখা যায় n = 0, 1, 2 আর -1, -2 এর জন্য রাশিটির মান 0, যা অবশ্যই 120 দিয়ে বিভাজ্য হবে। এখন 3 বা তার চেয়ে বড় অথবা -3 বা তার চেয়ে ছোট n এর জন্য কীভাবে বিভাজ্যতা প্রমাণ করা যায়? এর একটি উপায় হতে পারে রাশিটিকে 120 এর উৎপাদকগুলোর গুণিতক দেখানো। এখন 120 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 5!। তার মানে 120 পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল।
এবার রাশিটি নিয়ে একটু নাড়াচাড়া করা যাক। রাশিটির প্রতি পদেই n আছে, তাহলে, n5 – 5n3 + 4n = n(n4 – 5n2 + 4n)
n এর সাথে যে রাশিটি গুণ আকারে রয়েছে সেটিকেও কয়েকটি রাশির গুণফল আকারে লেখা যায়, n4 - 5n2 + 4 = n4 - n2 - 4n2 + 4 = (n2 - 4)(n2 - 1) = (n - 2)(n + 2)(n - 1)(n + 1)। তাহলে n5 – 5n3 + 4n রাশিটি পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল।
এখন আমরা n, 3 বা তার চেয়ে বড় হলে লিখতে পারি, (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) = (n + 2)!/(n – 3)! = 5! × {(n + 2)!/5!(n – 3)!} = 5! × C(n + 2, n – 3)
যেহেতু, ডানপক্ষ 120 দিয়ে বিভাজ্য, তাহলে প্রদত্ত রাশিও ধনাত্মক n এর জন্য 120 দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।
এবার -3 এর সমান বা ছোট n এর জন্য n = - m বসাতে পারি । সে ক্ষেত্রে, (- m - 2)(- m - 1)(- m)(- m + 1)(- m + 2) = - (m - 2)(m - 1)m(m + 1)(m + 2) = - (m + 2)!/(m – 3)! = - 5! × {(m + 2)!/5!(m – 3)!} = - 5! × C(m + 2, m – 3)
অর্থাৎ, ঋণাত্মক n এর জন্যও রাশিটি 120 দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং, সব পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য, n5 – 5n3 + 4n রাশিটি 120 দিয়ে বিভাজ্য।
তোমাদের মধ্যে যারা আবার Modular Arithmetic এ অভ্যস্ত, তারা হয়তো সেটা ব্যবহারের জন্য উশখুশ করছ। এটা তোমাদের ওপর ছেড়ে দিলাম। তোমরা নিজে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করবে।
চলো এখন দ্বিতীয় সমস্যাটি নিয়ে তদন্ত শুরু করা যাক। এই সমস্যার সমাধান শুরু করার আগে অবিভাজ্যতা প্রমাণের একটি উপায় জেনে নেওয়া যাক।
বিভাজ্যতার নিয়ম অনুযায়ী একটি সংখ্যা, a যদি b কে নিঃশেষে ভাগ করে এবং b ও আরেকটা সংখ্যা c এর যোগফল কে-ও ভাগ করে তাহলে বলা যায় a, c কে ভাগ করে। এখন আমাদের প্রধান আইডিয়া হলো শুরুতে ধরে নেওয়া রাশিটি 121 দিয়ে বিভাজ্য। এরপর রাশিটিকে এমন দুই অংশে ভাগ করা যার এক ভাগ 121 দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু অপরটা নয়। এ থেকে আমরা বলতে পারব যে পুরো রাশিটিই 121 দিয়ে বিভাজ্য নয় অর্থাৎ কন্ট্রাডিকশন।
এখন দেখো, একটি রাশি 121 দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার মানে সেটা 11 দিয়েও বিভাজ্য।
এবার আমরা লিখতে পারি, n2 + 3n + 5 = (n+7)(n - 4) + 33। যেহেতু 11 | 33 , তাই (n2 + 3n + 5), 11 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে যদি 11, (n + 7)(n - 4) কেও ভাগ করে ।
এখন, 11, (n + 7)(n - 4) রাশির শুধু একটি উৎপাদককে ভাগ করে না, বরং উভয় উৎপাদককে আলাদাভাবে ভাগ করে। কেননা 11 | (n + 7) – (n - 4) = 11, যা থেকে বলা যায় উভয়ই 11 দ্বারা বিভাজ্য।
তাহলে (n + 7)(n - 4), 121 দিয়ে বিভাজ্য । কিন্তু 33, 121 দিয়ে বিভাজ্য নয়। অর্থাৎ, n2 + 3n + 5, 121 দিয়ে বিভাজ্য হবে না ।
দ্রষ্টব্য : a | b অর্থ হল- a, b কে ভাগ করে।