জ্যামিতি পাঠ-১

ABCD ট্রপিজয়েডের AD∥BC এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। AD = 9, BC = 12 এবং ∆AOB-এর ক্ষেত্রফল 24 হলে, ABCD ট্রপিজয়েডের ক্ষেত্রফল বের করো।

শুরুতে আমরা জেনে নিই ট্রাপিজয়েড কী।

যে উত্তল চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল থাকে, ওই চতুর্ভুজটাকে ট্রাপিজয়েড বলে। অনেকে বলতে পারে, এটা তো ট্রাপিজিয়ামের সংজ্ঞা। আসলে ট্রাপিজিয়াম আর ট্রাপিজয়েড একই জিনিস। ট্রাপিজিয়াম শব্দটি ব্রিটিশ ইংলিশে ব্যবহার করা হয় এবং ট্রাপিজয়েড শব্দটা আমেরিকান ইংলিশে ব্যবহার করা হয়।

এখন আমরা মূল জ্যামিতি সমস্যায় ফিরে যাই। আমাদের প্রশ্নে দেওয়া আছে: AD = 9, BC = 12 এবং ∆AOB-এর ক্ষেত্রফল 24। এই তথ্যগুলো দিয়ে এখন আমাদের পুরো ট্রাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল বের করার চেষ্টা করতে হবে। তার আগে আমরা চিত্রটা এঁকে নিই।

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, ∆ABC ও ∆BCD-এর ভূমি একই অর্থাৎ BC এবং দুটি ত্রিভুজের উচ্চতাও একই, কারণ AD∥BC।  

∴ [∆ABC] = [∆BCD]

বা, [∆AOB] + [∆BOC] = [∆COD] + [∆BOC]

বা, [∆AOB] = [∆COD]

বা, [∆COD] = 24

আমরা [∆COD]-এর মান পেয়ে গেলাম। আবার [∆AOB]-এর মান দেওয়া আছে। এখন [∆AOD] ও [∆BOC]-এর মান বের করতে পারলেই [ABCD]-এর মান পেয়ে যাব।

এবার চিত্রের দিকে আবার একটু মনোযোগ দিই। দেখো আমাদের [∆AOD]-এর মান দরকার। আবার ∆AOD ও ∆COD-এর উচ্চতা একই। এখন যদি আমাদের OA/OC-এর মান জানা থাকে বা বের করতে পারি, তাহলে সহজেই [∆AOD]-এর মান পেয়ে যাব। একইভাবে, [∆BOC]-এর মান বের করতে পারব।

∆AOD ও ∆BOC হতে পাই,

∠OAD = ∠OCB            [একান্তর কোণ, কারণ, AB∥CD ও AC ছেদক]

∠ODA = ∠OBC            [একান্তর কোণ, কারণ, AB∥CD ও BD ছেদক]

এবং ∠AOD = ∠BOC     [বিপ্রতীপ কোণ]

∴ ∆AOD ও ∆BOC সদৃশকোণী ও সদৃশ।

সুতরাং OD/OB = OA/OC = AD/BC = 9/12 = 3/4

এইবার ∆AOD ও ∆COD-এর ভূমি যথাক্রমে OA ও OC এবং দুটি ত্রিভুজের উচ্চতা একই।

∴ [∆AOD]/[∆COD] = OA/OC = 3/4

বা, [∆AOD] = 3/4 × [∆COD]

বা, [∆AOD] = 3/4 × 24 = 18

আবার, ∆AOB ও ∆BOC-এর ভূমি যথাক্রমে OA ও OC এবং দুটি ত্রিভুজের উচ্চতা একই।

∴ [∆AOB]/[∆BOC] = OA/OC = 3/4

বা, [∆BOC] = 4/3 × [∆AOB]

বা, [∆BOC] = 4/3 × 24 = 32

আমরা [∆AOB], [∆AOD], [∆COD] ও [∆BOC] এর মান পেয়ে গেলাম। এখন সব কটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যোগ করে দিলেই আমাদের কাজ শেষ। 

 এখন, ABCD ট্রাপিজয়ডের ক্ষেত্রফল = [∆AOB] + [∆AOD] + [∆COD] + [∆BOC]

                                                   = 24 + 18 + 24 + 32

                                                   = 98

দ্রষ্টব্য ∶ […] দিয়ে ক্ষেত্রফল বুঝানো হয়েছে।