বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
প্রিয় গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, গত পর্বে তোমরা এশিয়া প্যাসিফিক গণিত অলিম্পিয়াড-২০২২–এ আসা ১ম সমস্যার সমাধান দেখছ। আশাকরি তোমাদের ভালো লেগেছে। আজকের পর্বে থাকছে সমস্যা ২–এর সমাধান।
সমস্যা:
ABC এমন একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেন ∠B = 90°। D, CB রেখার ওপর এমন একটি বিন্দু যেন B বিন্দুটি D ও C–এর মধ্যে থাকে। E, AD বাহুর মধ্যবিন্দু এবং F হলো ∆ACD ও ∆ BDE–এর পরিবৃত্তদ্বয়ের দ্বিতীয় ছেদবিন্দু। প্রমাণ কর যে, D বিন্দুর বিভিন্ন অবস্থানের জন্য EF রেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
সমাধান:
চিত্রে,
EF রেখা ও CB রেখার ছেদবিন্দু K
EF রেখা ও ∆ACD–এর পরিবৃত্তের অপর ছেদবিন্দু P
B বিন্দুতে AD রেখার সমান্তরাল রেখা এবং PA রেখার ছেদবিন্দু Q
ক্লেইম-১: EB রেখা ও PC রেখা সমান্তরাল।
প্রমাণ:
• ∠KDF = 180° - ∠FDB = ∠FEB [যেহেতু EFDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]
• ∠KDF = 180° - ∠FDC = ∠FPC [যেহেতু PFDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ]
∴ ∠KDF = ∠FEB = ∠FPC
অর্থাৎ, ED রেখা ও PC রেখা সমান্তরাল।
ক্লেইম-২: ADCP একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম.
প্রমাণ:
• যেহেতু ABD সমকোণী ত্রিভুজ এবং E, অতিভূজ AD–এর মধ্যবিন্দু, সুতরাং AE = EB = DE.
∴ ∠EBD = ∠EDB = ∠ADC
• আবার, যেহেতু EB ∥ PC, সুতরাং ∠EBD = ∠PCB = ∠PCD
∴ ∠ADC = ∠PCB
অর্থাৎ ADCP একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম ৷
∴ AP ∥ DC বা AP ∥ BC
ক্লেইম-৩: B বিন্দুর সাপেক্ষে C বিন্দুর প্রতিফলন হলো K.
প্রমাণ:
• ∆AEP ও ∆KED এ,
∠AEP = ∠KED
∠EAP = ∠EDK
AE = DE
∴ ∆AEP ও ∆KED সর্বসম।
∴ AP = KD
• DQAB চতুর্ভুজে,
AQ ∥ BD এবং AD ∥ BQ.
∴ DQAB একটি সামান্তরিক।
∴ AQ = BD
• যেহেতু DQAB একটি সামান্তরিক এবং E, কর্ণ AD–এর একটি মধ্যবিন্দু; সুতরাং, কর্ণ BQ, E বিন্দুগামী।
• PQBC চতুর্ভুজে,
PQ ∥ BC [যেহেতু AP ∥ BC] এবং PC ∥ QB [যেহেতু EB ∥ PC].
∴ PQBC একটি সামান্তরিক।
∴ BC = PQ = AP + AQ = KD + BD = KB
∴ B বিন্দুটি KC রেখাংশের মধ্যবিন্দু।
অর্থাৎ, B বিন্দুর সাপেক্ষে C বিন্দুর প্রতিফলন K.
সুতরাং, D বিন্দুর বিভিন্ন অবস্থানের জন্য EF রেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়, যেটি হলো B বিন্দুর সাপেক্ষে C বিন্দুর প্রতিফলন।