SOLVED — IMO 2023 Problem 4
প্রিয় গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, আশাকরি সবাই ভালো আছো। তোমরা জানো এবছর জাপানের চিবা শহরে ৬৪ তম আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড অনুষ্ঠিত হয়। সেখানে মোট ৬ টি সমস্যা দেওয়া হয়েছিল সমাধান করার জন্য। তোমরা হয়তো ইতিমধ্যে ১ম দিনের সব সমস্যা ও এদের সমাধান দেখে ফেলেছ। আজকের এই পর্বে ৪র্থ সমস্যা অর্থাৎ ২য় দিনের প্রথম সমস্যার সমাধান দেখব।
সমস্যা:
ধরি, x1, x2 , . . ., x2023 হলো ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা যেন এদের মধ্যে কোনো দুটি সংখ্যার মান সমান না হয় এবং সকল n = 1, 2, 3, . . . , 2023 এর জন্য, an = √{(x1 + x2 + . . . + xn)(1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn)}এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা হয়। প্রমাণ করো যে, a2023 ≥ 3034।
সমাধান:
প্রথমত, এই সমস্যায় সর্বপ্রথম লক্ষণীয় বিষয়টি হলো 3034 সংখ্যাটি 2023–এর প্রায় দেড় গুণ। বিশেষত, 3034 = 2023 + ⌊2023/2⌋।
এখন, ছোট ছোট সংখ্যা গুলো নিয়ে পরীক্ষা করে পাই, a1 = 1
এবং a2 = √{(x1 + x2 )(1/x1 + 1/x2)} = √(2+ x1/x2 + x2/x1) > √(2 + 2) = 2
[কারণ Arithmetic Mean–Geometric Mean এর অসমতা ব্যবহার করে পাই, x1/x2 + x2/x1 > 2, যেহেতু x1 ≠ x2]
∴ a2 ≥ 3। যেহেতু a3 > a2, a3 ≥ 4।
এখন, a4 = 5 ধরে কাজ করতে গিয়ে আমরা একটা বৈশিষ্ট্য দেখতে পাই,
an+2 = √{(x1 + x2 + . . . + xn+2)(1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn+2)}
= √{(x1 + x2 + . . . + xn)(1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn) + (xn+1 + xn+2)(1/x1 +
1/x2 + . . . + 1/xn) + (1/xn+1 + 1/xn+2)(x1 + x2 + . . . + xn) + (1/xn+1 +
1/xn+2)(xn+1 + xn+2)}
এখন, (x1 + x2 + . . . + xn)(1/x1 +1/x2 + . . . + 1/xn) = an2,
(xn+1 + xn+2) (1/xn+1 + 1/xn+2) > 4 [a2–এর অনুরূপ],
এবং (xn+1 + xn+2)(1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn) + (1/xn+1 + 1/xn+2)(x1 + x2 + . . . + xn)
≥ 2√{(xn+1 + xn+2)(1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn)(1/xn+1 + 1/xn+2)(x1 + x2 + . . . + xn)} [AM–GM]
≥ 2√{(xn+1 + xn+2)(1/xn+1 + 1/xn+2)(x1 + x2 + . . . + xn)(1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn)}
≥ 2√(4an2)
= 4an
সুতরাং, an+2 ≥ √(an2 + 4an + 4) = an + 2 এবং এর থেকে আমরা পাই—
a4 ≥ 6 [কারণ a2 ও a3–এর মান সর্বনিম্ন 3 ও 4 হলে, a4–এর মান অন্তত 6 হওয়া লাগবে]
a5 ≥ 7
a6 ≥ 9
.
.
.
a2023 ≥ 3034
এভাবে প্যাটার্ন অনুসরণ করে পাই, a2023 ≥ 3034।