বাটারফ্লাই উপপাদ্য

শিরোনাম পড়ে অনেকের মনে প্রশ্ন জাগতে পারে কেন এমন নাম। কেন এমন নাম তা নিচের ছবিটার দিকে তাকালে বুঝতে পারবে।

বাঁ পাশের জ্যামিতিক চিত্রটা দেখতে প্রায় ডান পাশের প্রজাপতির আকৃতির মত। তাই এই উপপাদ্যটাকে ‘বাটারফ্লাই উপপাদ্য’ নামকরণ করা হয়েছে।

এখন উপপাদ্যটা কী, তা বর্ণনা করা যাক। O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা AB যার মধ্যবিন্দু C দিয়ে দুটি জ্যা DE ও GF আঁকা হয়েছে। DF ও GE জ্যা AB কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে প্রমাণ করতে হবে, MN এর মধ্যবিন্দু C।    

প্রমাণ:

∠DFG = ∠DEG  [একই চাপ DG এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ] 

∠FDE = ∠FGE  [একই চাপ EF ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ]

∴ ∆FCD ~ ∆ECG

∴ FD/FC = EG/EC … … … (i)

এখন, OH⊥DF এবং OJ⊥EG আঁকি। O,M ; O,N ; C,H ; C,J এবং O,C যোগ করি।

OC⊥AB হবে, কারণ আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা (AB) ও কেন্দ্রের (O) সংযোজক রেখাংশ ওই জ্যা (AB) এর ওপর লম্ব।

∴ FD = 2FH এবং EG = 2EJ, কারণ বৃত্তের কেন্দ্র (O) থেকে কোনো জ্যা (DF এবং GE) ওপর অঙ্কিত লম্ব (OH এবং OJ) ওই জ্যা (DF এবং GE) কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

এখন, (i) হতে পাই, 2FH/FC = 2EJ/EC

বা, FH/FC = EJ/EC … … … (ii)

আবার, ∠DFG = ∠DEG 

বা, ∠HFC = ∠JEC … … … (iii)

আমরা জানি, দুইটি ত্রিভুজের একটির কোণ অপরটির এক কোণের সমান হলে এবং সমান সমান কোণ-সংলগ্ন বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ হবে।

তাহলে, (ii) ও (iii) হতে বলা যায়, ∆FCH ~ ∆ECJ

∴ ∠FHC = ∠EJC … … … (iv)

এখন, OCMH একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভু্‌জ, কারণ ∠OHM + ∠OCM = 180°

∴ ∠MHC = ∠MOC  [একই চাপ MC এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ]

বা, ∠FHC = ∠MOC … … … (v)

আবার, OCNJ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভু্‌জ, কারণ ∠OCN + ∠OJN = 180°

∴ ∠CJN = ∠CON  [একই চাপ CN এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ]

বা, ∠EJC = ∠CON … … … (vi) 

(iv), (v) ও (vi) হতে পাই, ∠MOC = ∠CON … … … (vii)

এখন, ∆OCM ও ∆OCN হতে পাই, ∠OCM = ∠OCN = 90°,

∠MOC = ∠CON এবং OC সাধারণ বাহু।

∴ ∆OCM ≅ ∆OCN

তাহলে, MC = CN

∴MN এরমধ্যবিন্দু C।