সেট তত্ত্ব এবং সাধারণ গুণিতক ও গুণনীয়কের মধ্যকার সম্পর্ক

সেট তত্ত্ব এবং সাধারণ গুণিতক ও গুণনীয়ক বিষয় দুইটির সঙ্গে আমরা সবাই পরিচিত। এই দুটি বিষয় গণিতের বিখ্যাত বিষয়গুলোর মধ্যে দুটি। কিন্তু এই দুটি বিষয় গণিতের ভিন্ন ভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হলেও এগুলোর মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে।

প্রথমেই আমরা গুণিতক ও গুণনীয়ক এবং সেট তত্ত্ব সম্বন্ধে জানব। গুণিতক ও গুণনীয়ক শুনলেই প্রথমে আমাদের মাথায় যা আসে, তা হলো গুণ। অর্থাৎ গুণিতক ও গুণনীয়ক বিষয় দুটির সঙ্গে গুণ ওতপ্রোতভাবে জড়িত। সাধারণ ভাষায় গুণিতককে গুণফল ও গুণনীয়ককে উৎপাদক বলা যেতে পারে। এখন, সাধারণ গুণিতক ও গুণনীয়ক বলতে দুই বা ততোধিক সংখ্যার (Common)  সাধারণ গুণফল ও উৎপাদককে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ—

৩ এর গুণিতক =৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮……

৬ এর গুণিতক = ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০, ৩৬..…..

 দেখা যাচ্ছে যে ৩ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতক ৬, ১২, ১৮ ইত্যাদি।

২ এর গুণনীয়ক= ১, ২

৪ এর গুণনীয়ক= ১, ২, ৪

 দেখা যাচ্ছে যে ২ ও ৪ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১ ও ২

 তাহলে আমরা জানলাম সাধারণ গুণিতক ও গুণনীয়ক সম্পর্কে।

আবার সেট তত্ত্ব নিয়ে ভাবলে প্রথমেই মাথায় আসে সসীম সেট, অসীম সেট, উপসেট, সংযোগ সেট, ছেদ‌ সেট, ভেনচিত্র  ইত্যাদি। এগুলো প্রতিটিই একেকটি সেট। গণিতের ভাষায়, ‘বাস্তব বা চিন্তাজগতের সুসংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশকে সেট বলে।’ সেটের প্রতিটি বস্তুকে উপাদান বা Element বলা হয়। এই উপাদান বা Element যেকোনো ধরনের সংখ্যা বা অক্ষর হতে পারে। সেট তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো Venn-Diagram বা ভেনচিত্র। এই ভেনচিত্রের প্রয়োগ আমাদের বাস্তব জীবনেও রয়েছে। ভেনচিত্রের একটি উদাহরণ দেখি—

ধরি,  সেট A={3, 8, 9},  সেট   B= {1, 3, 4}

তাহলে,  A ও B কে ভেনচিত্রে প্রকাশ‌ করলে পাই,

আমরা তো ভেনচিত্র দিয়ে অনেক গণিত করেছি। কিন্ত একটি বিষয় কি লক্ষ করেছি? ভেনচিত্র দিয়ে আমরা চাইলেই সহজেই যেকোনো সংখ্যার সাধারণ গুণিতক ও গুণনীয়ক নির্ণয় করতে পারি। যেমন—

ধরি, সেট A= {2, 4, 6, 8, 10} (2 এর প্রথম ৫টি গুণিতক)

          সেট B= {3, 6, 9, 12, 15} (3 এর প্রথম ৫টি গুণিতক)

তাহলে,  A ও B কে ভেনচিত্রে প্রকাশ‌ করলে পাই

সুতরাং, আমরা ভেনচিত্রের সাহায্যে 2 ও 3 এর প্রথম ৫টি গুণিতকের মধ্যে সাধারণ গুণিতক 6 পেলাম।

ধরি, সেট A= {1, 2, 3, 6} (6 এর গুণনীয়ক)

          সেট B= {1, 2, 4, 8} (8 এর গুণনীয়ক)

তাহলে,  A ও B কে ভেনচিত্রে প্রকাশ‌ করলে পাই,

সুতরাং, আমরা  ভেনচিত্রের সাহায্যে 6 ও 8 এর গুণনীয়কগুলোর সাধারণ গুননীয়ক 1 ও 2 পেলাম।

ভেনচিত্রের সঙ্গে আবার একটি সেটের সাদৃশ্য রয়েছে। অর্থাৎ ভেনচিত্র ও সেই সেট অনুরূপ কাজ করে‌। সেই সেট হলো  Intersection Set  বা ছেদ সেট। তাই ভেনচিত্র ও ছেদ সেটকে সদৃশ সেট বলা যায়। তাই আমরা ছেদ সেট দিয়েও‌ কোনো সংখ্যার সাধারণ গুণিতক বা গুণনীয়ক নির্ণয় করতে পারি! এ সম্পর্কে দুটি উদাহরণ দেখে নেওয়া যাক।

মনে করি,

সেট A= {1, 2, 3, 4, 6, 12}  [12 এর গুণনীয়ক]

সেট B= {1, 2, 3, 6, 9, 18}  [18 এর গুণনীয়ক]

A⋂B= {1, 2, 3, 4, 6, 12} ⋂ {1, 2, 3, 6, 9, 18}= {1, 2, 3, 6}

তাহলে, আমরা ছেদ‌ সেটের সাহায্যে 12 ও 18 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক 1, 2, 3 ও 6 পেলাম।

মনে করি, সেট A= {8, 16, 24, 32, 40, 46}  [8 এর প্রথম ৬টি গুণিতক]

সেট B= {10, 20, 30, 40, 50, 60}  [10 এর প্রথম ৬টি গুণিতক]

A⋂B= {8, 16, 24, 32, 40, 46} ⋂ {10, 20, 30, 40, 50, 60} = {40}

তাহলে, আমরা ছেদ‌ সেটের সাহায্যে 8 ও 10 এর গুণিতকগুলোর মধ্যে সাধারণ গুণিতক 40 পেলাম।

উপরোক্ত আলোচনা থেকে আমরা বুঝতে পারলাম, আমাদের গণিত শাস্ত্রের স্বীকৃত পাটিগণিত পদ্ধতি ছাড়া আমরা সেট তত্ত্ব অর্থাৎ ভেনচিত্র ও ছেদ সেট দিয়েও কোনো সংখ্যার সাধারণ গুণিতক ও গুণনীয়ক নির্ণয় করা যায়। মূলত এই পদ্ধতি সেট তত্ত্ব এবং সাধারণ গুণিতক ও গুণনীয়কের মধ্যকার সম্পর্কটিকেই চিহ্নিত করে‌।

সাবরিয়া আহমেদ, ৯ম শ্রেণি, তেজগাঁও সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, ঢাকা