গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-১২)

x একটি দুই অংকের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও y একটি তিন অংকের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা । x-কে y% বাড়ালে ও y-কে x% কমালে একই সংখ্যা পাওয়া যায় । এমন কয় জোড়া (x, y) থাকা সম্ভব ?

x-কে y% বাড়ালে সংখ্যাটি হয় = x + x × y% = x + xy/100

এবং y-কে x% কমালে সংখ্যাটি হয় = y ­– y × x% = y – xy/100

প্রশ্নমতে,  x + xy/100 = y – xy/100

বা, y – x = 2xy/100

বা, y – x = xy/50

বা, (y – x)/y = x/50

বা, 1 – x/y = x/50

বা, x/y = 1 – x/50

বা, x/y = (50 – x)/50

∴ y = 50x/(50 – x) … … … (i)

এখন, আমাদের শর্ত দেওয়া আছে, x হলো দুই অঙ্কের সংখ্যা অর্থাৎ 10 ≤ x < 100 এবং y হলো তিন অঙ্কের সংখ্যা অর্থাৎ 100 ≤ y < 1000।

কিন্তু, y = 100 হলে, (i) হতে পাই— x = 100/3 > 33 … … … (ii)

এবং y = 1000 হলে, (i) হতে পাই— x = 1000/21 < 48 … … … (iii)

(ii), (iii) হতে x-এর সম্ভাব্য সীমা পাই— 33 < x < 48

এখন, 33 < x < 48 সীমার মধ্যে x এর মান (i) এ বসিয়ে চেক করে পাই—

x = 34 হলে, y = 425/4

x = 35 হলে, y = 350/3

x = 36 হলে, y = 900/7

x = 37 হলে, y = 1850/13

x = 38 হলে, y = 475/3

x = 39 হলে, y = 1950/11

x = 40 হলে, y = 200

x = 41 হলে, y = 2050/9

x = 42 হলে, y = 525/2

x = 43 হলে, y = 2150/7

x = 44 হলে, y = 1100/3

x = 45 হলে, y = 450

x = 46 হলে, y = 575

x = 47 হলে, y = 2350/3

∴ গ্রহণযোগ্য জোড়া হলো: (x, y) = (40, 200) , (45, 450), (46, 575) অর্থাৎ তিন জোড়া (x, y) থাকা সম্ভব।