আজকের পর্বে থাকছে দুটি মজার সমস্যা। তাহলে কথা না বাড়িয়ে আমরা জ্যামিতি সমস্যাতে চলে যাই। প্রথমে আমরা একটা কোণ সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানে চেষ্টা করব। সমস্যাটি হলো-
চিত্রে AB = AC = CE = CD এবং ∠B = 5/2 × ∠A হলে, ∠E এর মান বের করতে হবে।
সমস্যাটা সমাধানের আগে আমরা চিত্রটা ভালোমতো খেয়াল করি এবং কী কী ক্লু দেওয়া আছে, তা লক্ষ করি। আমরা যদি ক্লুগুলো কাজে লাগিয়ে ∆ABC থেকে ∠ACB এর মান বের করতে পারি, তাহলে ∆CDE থেকে ∠CED এর মান বের করতে পারব। তাহলে চলো কীভাবে আমরা কোণগুলোর মান বের করতে পারি দেখা যাক।
আমাদের বলা আছে, AB = AC, তাহলে ∠ACB = ∠ABC হবে। কারণ আমরা জানি, কোন ত্রিভুজের দুটা বাহু পরস্পর সমান হলে, তাদের বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান হবে। একইভাবে, CE = CD হওয়ায় ∠CDE = ∠CED।
এখন, ∆ABC হতে পাই, ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
বা, 2/5 × ∠ABC + ∠ABC + ∠ACB = 180° [∵ ∠B = 5/2 × ∠A]
বা, 2/5 × ∠ACB + ∠ACB + ∠ACB = 180° [∵ ∠ABC = ∠ACB]
বা, 12/5 × ∠ACB = 180°
∴ ∠ACB = 75° … … … (i)
আমরা ∠ACB এর মান পেয়ে গেলাম। এখন ∠CED এর মান বের করার পালা।
আবার ∆DEC হতে পাই, ∠DCE + ∠CDE +∠CED = 180°
বা, ∠ACB + ∠CDE + ∠CED = 180° [∵ ∠DCE = ∠ACB, কারণ বিপ্রতীপ কোণ]
বা, ∠ACB + ∠CED + ∠CED = 180° [∵ ∠CDE = ∠CED]
বা, 75° + 2∠CED = 180° [(i) হতে]
বা, 2∠CED = 105°
∴∠CED = ∠E = 105°/2
তাহলে আমরা ∠E এর মান পেয়ে গেলাম।
এখন আমরা আমাদের দ্বিতীয় সমস্যায় চলে যাই। এবারের সমস্যাটা ক্ষেত্রফল-সংক্রান্ত। তাহলে চটপট করে প্রশ্নটা লিখে ফেলি-
চিত্রে ABCD একটি বর্গক্ষেত্রে AE = 2BE, CF = 2BF। ত্রিভুজ DEF ও বর্গক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করতে হবে।
আমাদের ক্লু দেয়া আছে AE = 2BE, CF = 2BF। আর এগুলো ব্যবহার করে AE, BE, BF ও CF কে বর্গের বাহু AB এর মাধ্যমে প্রকাশ করব।
আচ্ছা কেন এই কাজটা করব ? দেখো AE কে যদি AB এর মাধ্যমে বের করতে পারি, তাহলে [∆ADE] এর মানও AB এর মাধ্যমে পাব। একইভাবে, BE, BF ও CF কে বর্গের বাহু AB এর মাধ্যমে বের করতে পারলে [∆BEF] ও [∆CDF] এর মান AB এর মাধ্যমে পাব।
এখন [ABCD] থেকে [∆ADE] , [∆BEF] ও [∆CDF] বাদ দিলে [∆DEF] এর মানও AB এর মাধ্যমে পাব। তারপর সহজে [ABCD] ও [∆DEF] এর অনুপাত বের করতে পারব।
এখন, AE = 2BE
বা, AE = 2(AB - AE)
বা, AE = 2AB/3
এবং BE = AE/2 = AB/3
আবার, CF = 2BF
বা, CF = 2(BC - CF)
বা, CF = 2(AB - CF) [∵ AB = BC = CD = AD]
বা, CF = 2AB/3
এবং BF = CF/2 = AB/3
এখন, [∆DEF] = [ABCD] - [∆ADE] - [∆BEF] - [∆CDF]
বা, [∆DEF] = AB2 – (1/2 × AE × AD) – (1/2 × BE × BF) – (1/2 × CD × CF)
বা, [∆DEF] = AB2 – (1/2 × 2AB/3 × AB) – (1/2 × AB/3 × AB/3) – (1/2 × AB × 2AB/3)
বা, [∆DEF] = AB2 - AB2/3 - AB2/18 - AB2/3
বা, [∆DEF] = 5/18 × AB2
বা, [∆DEF]/AB2 = 5/18
বা, [∆DEF]/[ABCD] = 5/18 [∵ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, [ABCD] = AB2]
∴ [∆DEF] ∶ [ABCD] = 5 ∶ 18
আশা করি সমস্যা দুটি ভালো লেগেছে। পরবর্তী পর্বে আরও মজার মজার সমস্যা নিয়ে হাজির হব।