দরজায় কড়া নাড়ছে গণিত অলিম্পিয়াড ২০২৪-গণিত উৎসবের প্রস্তুতি (পর্ব-২)

সমস্যা-১: x কে 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় y এবং অবশিষ্ট থাকে 3। যদি x ও y উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয়, তাহলে  x কে 5 দিয়ে ভাগ করলে কত ভাগশেষ থাকবে ?

সমাধান: এখানে যদি আমরা একটু চিন্তা করি তাহলে দেখবো বিষয়টা খুবই সহজ। 5 হচ্ছে 10 এর একটি উৎপাদক। এখন আমরা যদি 10 দিয়ে ভাগ করলে 3 অবশিষ্ট থাকে এমন কয়টা সংখ্যার তালিকা করি তাহলে পাবো— 13, 23, 33, 43, 53, . . . . . .। আমরা প্যাটার্নটা কিন্তু বুঝতে পারছি। তো এগুলোকে যদি 5 দিয়ে ভাগ করা হয় তাহলেও নিশ্চয় 3 ই ভাগশেষ থাকবে। অর্থাৎ আমাদের উত্তর 3।

এটা একটু বাচ্চাদের জন্যে অর্থাৎ যারা প্রাইমারি লেভেলে আছ তাদের বুঝতে সুবিধা হয় সেজন্য এইভাবে করা। চলো দ্বিতীয় আর একটি পদ্ধতি দেখি।

যেহেতু x কে 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় y এবং ভাগশেষ থাকে 3 তাই আমরা লিখতে পারি— x = 10y + 3।

এখন y এর যেকোনো মানের জন্যে 10y, 5 দ্বারা বিভাজ্য। এখানে যেহেতু 3 অতিরিক্ত যোগ থাকছে তাই সবসময়ই 3 অবশিষ্ট থেকে যাবে। সুতরাং, 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 3 থাকবে।

সমস্যা-২: স্বাধীন একটি বৃত্ত একে 12টি ভাগে ভাগ করল। কেন্দ্রে কোণগুলো এমনভাবে তৈরি হলো যেন সবগুলো কোণ পূর্ণসংখ্যা আর সমান্তর ধারার অন্তর্ভুক্ত হয়। সবচেয়ে ছোট কোণটির মান কত ?

সমাধান: এখানে একটি বিষয় বুঝতে হবে যে এটি সমান্তর ধারা মেনে চলে। যারা এখনো সমান্তর ধারা চেনো না তারা একটু লক্ষ করো।

1, 3, 5, 7, 9, . . . . .

8, 14, 20, 26, . . . . .

ধারা দুটি দেখো। ১ম ধারাতে 2 করে বৃদ্ধি পেয়েছে, ২য় ধারাতে 6 করে। অর্থাৎ কোনো ধারার যেকোনো পদ ও পূর্বের পদের বিয়োগফল সর্বদা সমান হয়, তাহলে সেটিকে সমান্তর ধারা বলে।

এখন, ধরি সমান্তর ধারাটি: 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x + 8x + 9x + 10x + 11x + 12x + 13x  

আমরা কেন x থেকে না ধরে 2x থেকে ধরেছি জানো? কারণ প্রশ্নে বলা আছে বৃত্তকে 12টি ভাগে ভাগ করা হয়েছে এবং বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 360°। তাই এমন একটি ধারা নিতে হবে যেটির যোগফল দ্বারা 360° বিভাজ্য হয়।

∴ 90x = 360°

বা, x = 4°

সুতরাং, সব থেকে ছোট কোণটির মান = 2x = 2 × 4° = 8°।

সমস্যা-৩: 3^a = 4, 4^b = 5, 5^c = 6, 6^d = 7, 7^e = 8, 8^f = 9 হলে, a × b × c × d × e × f এর মান কত ?

সমাধান: এটা আমরা শেষের দিক থেকে শুরু করতে পারি অর্থাৎ

8^f = 9

বা, (7^e)^f = 9

বা, (6^d)^ef = 9

বা, (5^c)^def = 9

বা, (4^b)^cdef = 9

বা, (3^a)^bcdef = 9

বা, 3^abcef = 9

বা, 3^abcdef = 3²

∴ a × b × c × d × e × f = 2

সমস্যা-৪: 324 সংখ্যাটির কয়টি উৎপাদক আছে ?

সমাধান:  শুরতে চলো 324 কে আমরা মৌলিক উৎপাদকের গুণফল আকারে সাজাই।

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3⁴

এখানে আমরা 324 এর উৎপাদক গুলোকে মৌলিক সংখ্যার সাহায্যে পেয়েছি। এখানে ঘাত বা পাওয়ার 2 ও 4। সুতরাং 324 এর মোট উৎপাদক হবে (2 + 1) × (3 + 1) = 15 টি। এটাই আমাদের উত্তর। বিষয়টি আরও ভালোমত বুঝতে পূর্বে প্রকাশিত “সবার জন্যে বিন্যাস সমাবেশ” পর্ব-৫ দেখতে পারো।

আজ এই পর্যন্ত রইল। দেখা হবে পরবর্তী পর্বে নতুন মজার মজার সমস্যা নিয়ে।