গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-২০)

তিন বন্ধু সকাল, মাহতাব ও শুভ কিছু ডাব সংগ্রহ করে টিভিতে খেলা দেখতে বসল। কিছুক্ষণ পর সকাল টিভির রুম থেকে উঠে এসে ডাবগুলোকে সমান তিনভাগে ভাগ করল এবং অতিরিক্ত একটা ডাব পচা বলে ফেলে দিল। তারপর একভাগ নিজের জন্য সরিয়ে রেখে খেলা দেখতে চলে গেল। কিছুক্ষণ পর মাহতাব টিভির রুম থেকে উঠে এসে ডাবগুলোকে সমান তিনভাগে ভাগ করল এবং অতিরিক্ত একটা ডাব পচা বলে ফেলে দিল। তারপর একভাগ নিজের জন্য সরিয়ে রেখে খেলা দেখতে চলে গেল। তারপর কিছুক্ষণ পর শুভও টিভির রুম থেকে এসে ডাবগুলোকে সমান তিনভাগে ভাগ করে এবং অতিরিক্ত একটা ডাব থেকে যায়। আর সেটা পচা বলে ফেলে দেয়। তারপর একভাগ নিজের জন্য সরিয়ে রেখে খেলা দেখতে চলে গেল। খেলা শেষ হওয়ার পর তিন বন্ধু অবশিষ্ট ডাবগুলোকে সমান তিনভাগে ভাগ করে প্রত্যেকে একভাগ করে নিল।

এবার বলতে হবে— শুরুতে ঐ তিন বন্ধু সর্বনিম্ন কয়টা ডাব সংগ্রহ করেছিল ?

মনে করি, মোট ডাব সংগ্রহ করেছে K টি।

১ম ধাপে সকাল K সংখ্যক ডাবকে 3 ভাগে ভাগ করবে (যেখানে a হলো প্রত্যেক ভাগ ডাবের সংখ্যা) এবং 1 টি ডাব পচা পাবে।

∴ K = 3a + 1 … … (i)

২য় ধাপে মাহতাব 2a সংখ্যক ডাবকে 3 ভাগে ভাগ করবে (যেখানে b হলো প্রত্যেক ভাগ ডাবের সংখ্যা) এবং 1 টি ডাব পচা পাবে।

∴ 2a = 3b + 1 … … … (ii)

৩য় ধাপে শুভ 2b সংখ্যক ডাবকে 3 ভাগে ভাগ করবে (যেখানে c হলো প্রত্যেক ভাগ ডাবের সংখ্যা) এবং 1 টি ডাব পচা পাবে।

∴ 2b = 3c + 1 … … … (iii)

৪র্থ ধাপে তিন বন্ধু 2c সংখ্যক ডাবকে 3 ভাগে ভাগ করবে (যেখানে d হলো প্রত্যেক ভাগ ডাবের সংখ্যা)।

∴ 2c = 3d … … … (iv)

(i) হতে পাই— K = 3a + 1

বা, K = (3∙2a + 2)/2

বা, K = (9b + 5)/2     [(ii) হতে]

বা, K = (9∙2b + 10)/4

বা, K = (27c + 19)/4     [(iii) হতে]

বা, K = (27∙2c + 38)/8

বা, K = (81d + 38)/8     [(iv) হতে]

∴ K = (81d + 38)/8 … … … (v)

যেহেতু K একটি পূর্ণসংখ্যা। সুতরাং, (81d + 38) ; 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

∴ 81d + 38 ≡ 0 (mod 8)

বা, 81d ≡ – 38 (mod 8)

বা, 81d ≡ 2 (mod 8)

বা, d ≡ 2 (mod 8)

∴ d = 8x + 2     [যেখানে x অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা]

(v) এ d = 8x + 2 বসিয়ে পাই—

K = {81∙(8x + 2) + 38}/8

বা, K = (648x + 162 + 38)/8

বা, K = (648x + 200)/8

বা, K = 81x + 25 … … … (vi)

(vi) এ x = 0 বসিয়ে পাই— K = 25

∴ শুরুতে ঐ তিন বন্ধু সর্বনিম্ন 25 টি ডাব সংগ্রহ করেছিল।