আমরা অনেকেই জানি, a, b, c ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য a² + b² = c² মেনে চলে। তাহলে (a, b, c) কে পিথাগোরিয়ান ত্রয়ী বলে। যেমন: 3² + 4² = 5², 10² + 24² = 26² ইত্যাদি।
এখন, আমাদের যদি যেকোনো দুটি সংখ্যার মান দেওয়া থাকে, তাহলে আমরা খুব সহজেই অপর সংখ্যাটি নির্ণয় করতে পারি। যেমন দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 41 সংখ্যাটির বর্গের সমান। সংখ্যা দুটির একটি 9 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধান: a² + b² = c²
বা, 9² + b² = 41²
বা, b² = 41² - 9²
বা, b² = 1600
অতএব, b = 40
এভাবে, আমরা খুব সহজেই দুটি চলকের মান জানা থাকলে, অপর সংখ্যাটির মান জানতে পারি। কিন্তু, যদি এ রকম হয় যে তিনটি চলকের যেকোনো একটির মান দেওয়া আছে, অপর দুটির মান বের করতে হবে, তাহলে কী করব? এর জন্য তো কোনো সূত্র নেই।
তাহলে আমরা কীভাবে অপর সংখ্যা দুটির মান বের করব? চলো দেখে নিই, কোনো সূত্র বের করা যায় কি না! আমরা এমন একটি সাধারণ সমীকরণ বের করব, যেখানে চলকের যেকোনো মানের জন্য তা a² + b² = c² সূত্রটি মেনে চলবে। এর জন্য আমরা নিচের কয়েকটি সমীকরণের দিকে লক্ষ করি। (হিসাবের সুবিধার্থে a–কে ধরা হয়েছে বিজোড় সংখ্যা এবং a<b)।
3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61², 13² + 84² = 85², 15² + 112² = 113²
এখানে দেখা যাচ্ছে, a–এর মান বিজোড় সংখ্যা অর্থাৎ 2n - 1 (n>1) হলে, c = b + 1।
এখন, a² + b² = c²
বা, (2n – 1)² + b² = (b + 1)²
বা, 4n² – 4n + 1 + b² = b² + 2b + 1
বা, 4n² – 4n = 2b
বা, b = (4n² - 4n)/2
বা, b = 2n² - 2n
অতএব, b = 2n(n - 1)
অতএব, c = b + 1 = 2n(n - 1) + 1
আমরা বলতে পারি, a² + b² = c² সূত্রের সাধারণ সমীকরণটি হচ্ছে—
(2n – 1)² + {2n(n - 1)}² = {2n(n - 1) + 1}²
কিন্তু, তোমরা বলতে পারো, সূত্রটা তো সব সময় কাজ করবে না। কারণ, a এর মান সব সময় বিজোড় হয় না এবং c = b + 1 ও হয় না। আবার, a বিজোড় সংখ্যা হলেও c = b + 1 হয় না। তখন তো তা সাধারণ পদটাকে মানে না।
যেমন: 21² + 72² = 75², 10² + 24² = 26², 45² + 200² = 205², 66² + 360² = 366²
এখন যদি আমরা ওপরের সমীকরণগুলো ভালোভাবে লক্ষ করি, তাহলে আমরা দেখব a, b, c সংখ্যাগুলোর প্রতিটিকে (যখন a এর মান বিজোড় সংখ্যা অর্থাৎ 2n - 1 হলে, c = b + 1) একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দিয়ে গুণ করা হয়, তখন সেগুলো ওপরের সমীকরণগুলো গঠন করে। চলো, একটু ভালোভাবে বোঝার চেষ্টা করি...
যেমন ধরো, 10² + 24² = 26²। এই সমীকরণে, a বিজোড় সংখ্যা নয় আর c = b + 1 ও হয় না।
কিন্তু, সমীকরণটাকে যদি আমরা এ রকম লেখি, 10²+24² = 26
বা, (2 × 5)² + (2 × 12)² = (2 × 13)²
আবার ধরি, 21² + 72² = 75² এই সমীকরণটা। এখানে, a বিজোড় সংখ্যা হলেও c = b + 1 হয় না। কিন্তু, সমীকরণটাকে যদি আমরা এ রকম লেখি—
21² + 72² = 75²
বা, (3 × 7)² + (3 × 24)²= (3 × 25)²
আমরা দেখতে পাচ্ছি a, b, c সংখ্যাগুলোর প্রতিটিকে (যখন a এর মান বিজোড় সংখ্যা অর্থাৎ 2n-1 হলে, c = b + 1) একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা k (k∈ℕ) দিয়ে গুণ করলে সেগুলো ওপরের সমীকরণগুলো গঠন করে (যেখানে, a এর মান সব সময় বিজোড় হয় না এবং c = b+1 হয় না, আবার a বিজোড় সংখ্যা হলেও c = b + 1 হয় না)।
এখন, আমরা বলতে পারি, a² + b² = c² সূত্রের সাধারণ সমীকরণটি হলো, a² + b² = c²
বা, {k(2n – 1)}² + [k{2n(n – 1)}]² = [k{2n(n - 1) + 1}]²
খেয়াল করলে আরেকটা জিনিস দেখতে পারব। k সংখ্যাটি ধরার পর থেকে a, b বা c এর যেকোনোটির একটি মানের জন্য অপর দুইটির ভিন্ন কতগুলো মান আসতে পারে। যেমন 9² + 12² = 15², 9² + 40² = 41²। এমন কেন হয়? আমরা খুব ভালোভাবেই বুঝতে পারছি, 9² + 12² = 15² এর ক্ষেত্রে 3² + 4² = 5² এর a, b, c কে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা k = 3 দিয়ে গুণ করে আমরা 9² + 12² = 15² পাই। এই শর্ত k এর যেকোনো স্বাভাবিক মানের জন্য প্রযোজ্য। শেষ! আমার কাজ সমাপ্ত। a² + b² = c² সূত্রের সাধারণ সমীকরণ আমরা পেয়ে গেলাম।
এখন, সূত্রে k আর n > 1 এর যেকোনো স্বাভাবিক মানের জন্য সমীকরণটির যে মান আসবে, তা হবে a² + b² = c² একটি উদাহরণ মাত্র। মানে বলতে চাইছি, k আর n > 1 এর যেকোনো স্বাভাবিক মানের জন্য তা a² + b² = c² সূত্রটি মেনে চলবে।