বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
আজকে জ্ঞান অংশ শেষ হবে। আজকের আলোচনায় লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধানসহ থাকবে একটা মাস্টার কার্ড।
লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান :
মূলত একাধিক অজ্ঞাত চলকের মান নির্ণয় করতে এই পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হয়। তবে এটা কেবল পরীক্ষার জন্যই। দৈনন্দিন জীবনে কোনো কিছু সমাধান করতে এর ব্যবহার নেই বললেই চলে। তো, এখানে প্রথমেই তোমার কাছে থাকা দুইটা সমীকরণ থেকে x-এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য y-এর কিছু মান বের করতে হবে। কমপক্ষে দুটি আর সর্বোচ্চ তোমার ইচ্ছামতো মান বের করলেই হবে। এখন তোমার কাছে থাকা সমীকরণ দুইটা হলো-
এখানে (1) নং সমীকরণ 2x + y = 3 থেকে x-এর বিভিন্ন মানের জন্য y-এর মান নির্ণয় করি। কাজটা সহজে করার জন্য তুমি যেটার মান বের করবে অর্থাৎ y-কে এক দিকে আর সমীকরণের বাকি সবকিছুকে আরেক দিকে নিয়ে রেখে দাও। এইটা করতে একটু বীজগণিত ছাড়া আর কিছু লাগবে না। তাহলে তোমার নতুন সমীকরণ হলো y = 3 - 2x । x এর মানগুলো পূর্ণসংখ্যা নিলে ভালো হয়, দশমিক সংখ্যা নিলে একটু জটিলতা হয়! তবে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় মানই নিতেই পারো।
সমাধান করার জন্য আমি কিছু মান বের করেছি। মান গুলোর সেট হলো (x, y) = (-1, 5); (0, 3); (3, 3)। অর্থাৎ x = -1 হলে y = 5 পাবে। এবার বাকিগুলো মিলিয়ে দেখতে পারো।
একইভাবে (2) নং সমীকরণ 4x + 2y = 6 থেকে x এর নানা রকম মানের জন্য y-এর ভিন্ন ভিন্ন মান নির্ণয় করি। এখানে আমাদের নতুন সমীকরণ হলো y = ½(6 - 4x)। আমার মান গুলো হলো (x, y) = (-2, 7); (0, 3); (6, -9)। অর্থাৎ x = -2 হলে y = 7 পাবে। এখানেও একবার মিলিয়ে দেখো।
এখন এসব বিন্দু লেখকাগজে স্থাপন করো আর লেখচিত্র অঙ্কন করো। তারপর লেখ দুটি যে বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে, সেই বিন্দুর স্থানাঙ্কে ভুজ হলো x-এর মান এবং কোটি হলো y-এর মান। ওপরের দুটি সমীকরনের জন্য লেখ দুইটা (0, 3) বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে। তাহলে বলা যায় আমাদের গুপ্ত ঘাতক x = 0, y = 3।
এইবার আসবে মাস্টার কার্ড! আসলে এখানে আগের মতো কোনো ঘটনা নেই। তবে এটা এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য কাজ করে, এইটা একটু সীমাবদ্ধতা। তোমার কাছে একটা দ্বিঘাত সমীকরণ x2 + 6x + 9 = 0 আছে। এবার নিচের সূত্রটা দেখো।
এই সূত্র প্রয়োগ করতে তোমাকে তোমার সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 রূপে আনতে হবে। তোমাকে দেওয়া সমীকরণটা হলো x² + 6x + 9 = 0। এবার সহগ সমীকৃত করতে হবে। আদর্শ সমীকরণ ax2 + bx + c = 0-এর সাথে আমাদের সমীকরণ x² + 6x + 9 = 0-এর সাথে তুলনা করা হলে বলা যায় a = 1, b = 6, c = 9।
এবার ব্যাখ্যাটা দেখো।
এবার সূত্রে a,b,c এর মান বসিয়ে দাও। সমাধান নিচে দেখো।
ব্যস। সমাধান শেষ। যেকোনো এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে এটার প্রয়োগ করতে পারো। কাল থাকবে একটু মিষ্টিমুখ! টা টা!