প্রোজেক্টিভ জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য হলো প্যাসকেলের উপপাদ্য। ফরাসি গনিতবিদ ব্লেইজ প্যাসকেল ১৬৪০ সালে মাত্র ১৬ বছর বয়সে এই উপপাদ্য আবিষ্কার করেন। তাঁর নাম অনুসারেই এই উপপাদ্যের নাম দেওয়া হয় ‘প্যাসকেলের উপপাদ্য’। তাহলে উপপাদ্যটা কী, তা বর্ণনা করা যাক।
প্যাসকেলের উপপাদ্য :
একটি কণিকের (বৃত্ত, উপবৃত্ত, পরাবৃত্ত, অধিবৃত্ত) ওপর ছয়টি বিন্দু A, C, E, B, F এবং D ক্রমে অবস্থিত। তাহলে AB, DE ; AF, CD ও BC, EF এর ছেদবিন্দু যথাক্রমে H, G, I সমরেখ হবে।
উপপাদ্যটি আমাদের বৃত্তের ক্ষেত্রে প্রমাণ করলেই হবে। কারণ, বৃত্তকে প্রোজেক্টিভ ট্রান্সফরমেশনের মাধ্যমে যেকোনো কণিকে পরিণত করা যায়।
এখন বৃত্তের ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি প্রমাণের জন্য আমাদের মেনেলাউস উপপাদ্য ও এর বিপরীত উপপাদ্য এবং পাওয়ার অফ পয়েন্ট উপপাদ্যের সাহায্য নিতে হবে। তাহলে প্রথমে মেনেলাউস উপপাদ্য ও এর বিপরীত্য উপপাদ্য এবং পাওয়ার অফ পয়েন্ট সম্পর্কে একটু জেনে নিই।
মেনেলাউস উপপাদ্য :
যদি একটি রেখা ∆PQR ত্রিভুজের বাহুত্রয়কে (অথবা তাদের বর্ধিতাংশকে) M, N, O বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে (PM/MQ) × (QO/OR) × (RN/NP) = 1 হবে।
মেনেলাউসের বিপরীত্য উপপাদ্য :
যদি ∆PQR ত্রিভুজের PQ, PR, QR-এর (অথবা তাদের বর্ধিতাংশ) ওপর যথাক্রমে M, N, O বিন্দুত্রয় অবস্থিত এবং (PM/MQ) × (QO/OR) × (RN/NP) = 1 হয়, তাহলে M, N, O বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে।
পাওয়ার অব পয়েন্ট উপপাদ্য :
চিত্র (i)-এর ক্ষেত্রে : XO × OK = LO × OY,
চিত্র (ii)-এর ক্ষেত্রে : XY2 = YK × YL,
চিত্র (iii)-এর ক্ষেত্রে : KY × KX = KL × KO
মূল উপপাদ্যের প্রমাণ :
ধরি, U, V, W যথাক্রমে CD, EF ; AB, EF ও AB, CD এর ছেদবিন্দু। প্রয়োজনে রেখাগুলোকে বর্ধিত করে ছেদবিন্দু পাওয়া যাবে। তাহলে চিত্রটি হবে-
এখন, ∆UVW ত্রিভুজ এবং EHD রেখার জন্য মেনেলাউস উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
(VH/WH) × (WD/UD) × (UE/VE) = 1 … … … (i)
∆UVW ত্রিভুজ এবং AGF রেখার জন্য মেনেলাউস উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
(VA/WA) × (WG/UG) × (UF/VF) = 1 … … … (ii)
এবং ∆UVW ত্রিভুজ এবং CIB রেখার জন্য মেনেলাউস উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
(VB/WB) × (WC/UC) × (UI/VI) = 1 … … … (iii)
(i), (ii), (iii) গুণ করে পাই,
(VH/WH) × (WD/UD) × (UE/VE) × (VA/WA) × (WG/UG) × (UF/VF) × (VB/WB) × (WC/UC) × (UI/VI) = 1
বা, [(WD × WC)/(WA × WB)] × [(VA × VB)/(VE × VF)] × [(UE × UF)/(UC × UD)] × [(VH/WH) × (WG/UG) × (UI/VI)] = 1 … … … (iv)
আবার, পাওয়ার অব পয়েন্ট উপপাদ্য অনুযায়ী পাই,
WD × WC = WA × WB, VA × VB = VE × VF এবং UE × UF = UC × UD
এখন, (iv) হতে পাই, (VH/WH) × (WG/UG) × (UI/VI) = 1
সুতরাং, মেনেলাউসের বিপরীত্য উপপাদ্য অনুযায়ী বলতে পারি, H, G, I বিন্দুত্রয় সমরেখ।