বিডিএমও এর মজার জ্যামিতি সমস্যা

আজকে আমরা বিডিএমও এর একটি সহজ জ্যামিতির সমস্যা সমাধান করবো। শিক্ষার্থীদের গণিত অলিম্পিয়াডের প্রতি আগ্রহী করে তুলতে আমাদের এই প্রচেষ্টা। আমরা আজকে ২০১৪ সালের গণিত অলিম্পিয়াড চট্টগ্রাম বিভাগীয় পর্যায়ের ১০নং সমস্যা ও সমাধান দেখব। 

প্রশ্নের বিবরণ ছিলো এরকম- আয়তক্ষেত্র ABCD তে AD = 12√3। AD কে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো, যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র। বৃত্তের পরিধির উপর P এমন একটি বিন্দু যেন P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক CD এবং DA এর বর্ধিতাংশকে X এবং T বিন্দুতে ছেদ করে। P বিন্দু থেকে BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব BC কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি X, O এবং Q সমরৈখিক হয় এবং ∠POD = 120° হয়, তাহলে XT = ?

জ্যামিতির সমস্যা সমাধানের জন্য সবার আগে প্রয়োজন এর চিত্র। উপরের বর্ণনা অনুযায়ী নিচের চিত্রটি পাওয়া যায়, 

চিত্র থেকে বুঝা যাচ্ছে, XT এর মান নির্ণয় করতে হলে PT ও PX এর মানও বের করতে হবে। আমরা আরও দেখতে পাচ্ছি, PT ও PX যথাক্রমে ∆POT ও ∆XOP এর দুইটি বাহু। যেহেতু, XT হলো P বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক, তাই আমরা জানি, ∆POT ও ∆XOP ত্রিভুজ দুইটি সমকোণী। আমরা বুঝতেই পারছি, এখানে হালকা-পাতলা ত্রিকোণমিতির ব্যবহার হবে।

যেহেতু AD ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে O কেন্দ্র এবং P বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত, তাই AO = DO = PO = AD/2 = 12√3/2 = 6√3 হবে। আবার, PX ও DX বৃত্তের দুইটি স্পর্শক, তাই ∠ODX = ∠OPX = 90°।

দেওয়া আছে, ∠POD = 120°।

এখন, DOX ও POX দুইটি সমকোণী ত্রিভুজে, DO = PO (ব্যাসার্ধ) এবং XO সাধারণ অতিভুজ। অতএব, DOX ≅ POX।

তাহলে, ∠XOD = ∠XOP = ∠POD/2 = 120°/2 = 60°

আবার, ∆XOP সমকোণী ত্রিভুজে, tan(∠XOP) = PX/PO

বা, tan(60°) = PX/6√3

বা, PX = √3 × 6√3

∴ PX = 18 

আবার, ∠POT ও ∠POD পরস্পর সম্পূরক কোণ।

∴ ∠POT = 180° - ∠POD = 180° - 120° = 60°

তাহলে, ∆POT সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, 

tan(∠POT) = PT/PO

বা, tan(60°) = PT/6√3

বা, PT = 6√3 × √3

∴ PT = 18

অতএব, আমরা আমাদের কাঙ্ক্ষিত PT ও PX এর মান পেয়ে গেছি।

এখন, XT = PX + PT = 18 + 18 = 36

তাহলে আমরা খুব সহজেই এই সমস্যাটি সমাধান করে ফেললাম। তাই বড় সমস্যা দেখেই কখনো ভয় পাওয়া উচিত নয়। দেখা হচ্ছে পরবর্তী কোনো পর্বে, নতুন কোনো সমস্যা নিয়ে। আপাতত বিদায়।