গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-৮)

সকল পূর্ণসংখ্যার সমাধান বের করো: 1/x + 1/y = 1/2

দেওয়া আছে,  1/x + 1/y = 1/2

বা, (y + x)/xy = 1/2

বা, 2x + 2y = xy

বা, xy – 2x – 2y = 0

বা, xy – 2x – 2y + 4 = 4     [উভয়পক্ষে 4 যোগ করে]

বা, x(y – 2) – 2(y – 2) = 4

বা, (x – 2)(y – 2) = 4

এখন, x ও y পূর্ণসংখ্যা বলে (x – 2) ও (y – 2) রাশিগুলোও পূর্ণসংখ্যা হবে। তাহলে, (x – 2)(y – 2) = 4 কে কতগুলো কেইসে সাজিয়ে পাই—

কেইস–১: (x – 2)(y – 2) = 4 × 1

কেইস–২: (x – 2)(y – 2) = 1 × 4

কেইস–৩: (x – 2)(y – 2) = 2 × 2

কেইস–৪: (x – 2)(y – 2) = (–4) × (–1)

কেইস–৫: (x – 2)(y – 2) = (–1) × (–4)

কেইস–৬: (x – 2)(y – 2) = (–2) × (–2)

কেইস–১ থেকে পাই— x – 2 = 4 এবং y – 2 = 1

∴ (x , y) = (6 , 3)

কেইস–২ থেকে পাই— x – 2 = 1 এবং y – 2 = 4

∴ (x , y) = (3 , 6)

কেইস–৩ থেকে পাই— x – 2 = 2 এবং y – 2 = 2

∴ (x , y) = (4 , 4)

কেইস–৪ থেকে পাই— x – 2 = –4 এবং y – 2 = –1

∴ (x , y) = (–2 , 1)

কেইস–৫ থেকে পাই— x – 2 = –1 এবং y – 2 = –4

∴ (x , y) = (1 , –2)

কেইস–৬ থেকে পাই— x – 2 = –2 এবং y – 2 = –2

∴ (x , y) = (0 , 0)

আমরা ৬টি কেইস থেকে ৬ রকম উত্তর পেলাম । কিন্তু (x , y) = (0 , 0) উত্তরটি গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ x ও y এর মান মূল সমীকরণকে সিদ্ধ করে না।

∴ নির্ণয় গ্রহণযোগ্য মান : (x , y) = (6 , 3) , (3 , 6) , (4 , 4) , (–2 , 1) , (1 , –2)