আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড – ২০২৩ (সমস্যা ২-এর সমাধান)

প্রিয় গণিত ইশকুলের বন্ধুরা, আশাকরি সবাই ভালো আছো। তোমরা জানো এবছর জাপানের চিবায় ৬৪ তম আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড অনুষ্ঠিত হয়। সেখানে মোট ৬ টি সমস্যা সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়েছিল।আজকের এই পর্বে আমরা ২য় সমস্যার সমাধান দেখব।

মনে করো,  ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ যেখানে AB < AC এবং ∆ABC-এর পরিবৃত্ত হলো Ω। S হচ্ছে Ω-এর BC চাপের (যে চাপে A আছে) মধ্যবিন্দু। A হতে BC এর ওপর লম্ব BS কে D বিন্দুতে এবং Ω কে E ≠ A বিন্দুতে ছেদ করে। D থেকে BC-এর সমান্তরাল রেখা BE কে L বিন্দুতে ছেদ করে। ধরো, ∆BDL এর পরিবৃত্ত, Ω কে P ≠ B বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, P বিন্দুতে ∆BDL-এর পরিবৃত্তের স্পর্শক এবং ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক BS রেখাটির ওপর মিলিত হয়।

মনে করো, Ω বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AO, Ω-কে A' ≠ A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ∠ACA' = 90°, ∠AA' C = ∠ABC। 

∴ ∠CAA' = 90° – ∠ABC

⇒ ∠CAA' = ∠BAE

⇒ ∠BAA' = ∠EAC 

এখন, ∠BPA' = ∠BAA' = ∠EAC = ∠EBC = ∠ELD = ∠BLD = ∠BPD

সুতরাং, P, D এবং A' একই সরলরেখায় অবস্থিত। 

∴ ∠APD = 90°

এখন, মনে করো P বিন্দু হতে ∆BDL-এর পরিবৃত্তের স্পর্শক Ω কে Q ≠ P বিন্দুতে ছেদ করে। এখন আমরা দেখাবো যে, SQ এবং DP সমান্তরাল। খেয়াল করো,

∠DPQ = ∠DBP = ∠SBP = ∠SQP

তাহলে আমরা বলতে পারি যে, SQ এবং DP সমান্তরাল। ধরি, BC চাপের (যেই চাপে A নেই) মধ্যবিন্দু M। এখন আমাদের কাজ হচ্ছে MQ এবং AP কে সমান্তরাল দেখানো। লক্ষ্য করো,

∠APD = 90°= ∠MQS, SQ||DP

তাই, আমরা বলতে পারি যে, MQ এবং AP সমান্তরাল। তাহলে, ∆APD এবং ∆MQS ত্রিভুজ দুটির মধ্যে SQ এবং DP সমান্তরাল, MQ এবং AP সমান্তরাল, পরিশেষে AD এবং MS সমান্তরাল (কেননা AD এবং MS উভয়ই BC এর উপর লম্ব)। এরূপ ত্রিভুজদ্বয় কে হোমোথেটিক ত্রিভুজ বলে। তাহলে, AM, PQ ও DS একই বিন্দু X-এ মিলিত হবে। যেহেতু, M বিন্দু BC চাপের (যেই চাপে A নেই) মধ্যবিন্দু। সুতরাং, AM হলো ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক এবং PQ, ∆BDL-এর পরিবৃত্তের স্পর্শক। তাই, আমারা বলতে পারি যে, P বিন্দুতে ∆BDL-এর পরিবৃত্তের স্পর্শক এবং ∠BAC-এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক BS রেখাটির ওপর মিলিত হয়।