গণিত প্রেমি বন্ধুরা আশা করি তোমরা সবাই ভালো আছো। আজকে আমরা গণিত উৎসবের প্রস্তুতি নিয়ে কিছু সমস্যা ও সমাধান কৌশল নিয়ে আলোচনা করবো। তো চলো শুরু করা যাক। তবে শুরু করার আগে একটা রিকুয়েষ্ট, সমস্যা গুলো তোমরা আগে সমাধান করার চেষ্টা করবে, তারপর সমাধান দেখবে।
১. 1 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর কয়টি 5 অথবা 7 এর যেকোনো একটি দিয়ে বিভাজ্য?
সমাধান: প্রথমে বিভাজ্য সংখ্যা গুলোর একটা তালিকা তৈরি করি (30 এর ভিতর)।
5 দিয়ে বিভাজ্য এমন সংখ্যা– 5, 10, 15, 20, 25 ও 30 । আবার 7 দিয়ে বিভাজ্য এমন সংখ্যা– 7, 14, 21, 28 ।
অর্থাৎ 5 দিয়ে বিভাজ্য এমন সংখ্যা 6টি ও 7 দিয়ে বিভাজ্য এমন সংখ্যা 4টি। তাহলে মোট সংখ্যা (6+10) = 10 টি। 10টি এমন সংখ্যা আছে যেটি 5 বা 7 এর যেকোনো একটি দিয়ে বিভাজ্য।
এটি আর একটু সহজ ভাবেও আমরা করতে পারি। ফ্লোর ফাংশন ব্যবহার করে। তাহলে পাই—
⌊30/5 | + ⌊30/7⌋ = 10
এখানে যারা ফ্লোর ফাংশনের বিষয়টি বুঝতে পারোনি তারা দেখো— ⌊x⌋ এর মানে হলো x এর ছোট নিকটবর্তী বা সমান পূর্ণসংখ্যা। যেমন: ⌊69.39⌋ = 69, ⌊3⌋ = 3
আশা করি তোমরা এবার বুঝতে পেরেছ।
২. 1‑2023 এর মধ্যে কয়টি পূর্ণবর্গ সংখ্যা আছে?
সমাধান: আচ্ছা এখানে আমরা আগে ছোট ছোট Case এ চিন্তা করতে পারি।
Case-1: 1–10 এর ভিতর কয়টা পূর্ণবর্গ সংখ্যা আছে?
সহজ, 3 টি।
Case-2: 1-15 এর মধ্যে কয়টা আছে?
নিশ্চয় আগের 3 টিই অর্থাৎ নতুন কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নেই এখানে।
Case-3: 1-20 এর মধ্যে কয়টা আছে?
4 টি আছে। তারমানে নতুন একটা পূর্ণবর্গ সংখ্যা এখানে পেয়েছি।
Case–4: 1-25 এর ভিতর কয়টা আছে?
5টি। তারমানে এখানেও 1টি নতুন পূর্ণবর্গ সংখ্যা পেলাম। এখানে তোমরা কি একটা প্যাটার্ন লক্ষ করছো? যত পর্যন্ত সংখ্যা দেওয়া আছে তারমাঝে পূর্ণবর্গ সংখ্যা ও-ই সংখ্যার বর্গমূলের ফ্লোর ফাংশনের সমান! হ্যাঁ! Case–1 এ ⌊√10⌋ = 3
Case–2 তে ⌊√15⌋ = 3।একই ভাবে, Case–3 ও 4 এ যথাক্রমে ⌊√20⌋ = 4 ও ⌊√25⌋ = 5।
তার মানে আমরা বলতে পারি 1–2023 এর মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যা আছে ⌊√2023⌋ = 44টি।
৩. ফাহিম ইউক্রেন থেকে রাশিয়ায় বসবাসরত বন্ধু তানিমকে প্রতিদিন (24 ঘন্টা পরপর) একটি চিঠি লেখে। তবে তানিম চিঠি গুলো 25 ঘন্টা পরপর পায়। তানিম 25 তম দিনে যে চিঠিটা পায় সেটি ফাহিমের পাঠানো কত নম্বর চিঠি?
সমাধান: প্রথম চিঠি পাঠানোর 25 ঘন্টা পর তানিম চিঠিটি পায়। আবার, প্রথম চিঠিটি পাওয়ার ঠিক 25 + 25 = 50 ঘন্টা বা 2 দিন 2 ঘন্টা পর পায় তৃতীয় চিঠি। 25 দিনে মোট 25 × 24 = 600 ঘন্টা বা 24 দিন 24 ঘন্টা। সুতরাং তানিমের 25 তম দিনে পাওয়া চিঠিটি ফাহিমের পাঠানো 24 নম্বর চিঠি ।
৪. -1, 2, 7, 14, 23, 34, 47, ... ধারাটির 100 তম পদটি কত?
সমাধান: এখানে যদি আমরা লক্ষ করি তাহলে দেখবো উক্ত ধারাটি (x তম পদ)2 – 2
এই প্যাটার্ন টি মেনে চলে। সুতরাং 100 তম পদটি হবে 9998
৫. x + 1/x = √2 হলে, (x)2021 + (1/x)2021 এর মান কত ?
সমাধান: দেওয়া আছে, x + 1/x = √2
বা, (x + 1/x)2 = 2
বা, x2 + 1/x2 = 0
বা, (x4 + 1)/x2 = 0
বা, x4 + 1 = 0
বা, x4 = -1
এখন, (x)2021 + (1/x)2021 কে আমরা এভাবে লিখতে পারি— (x4)505∙(x) + 1/(x4)505 ∙(1/x)
= (-1)505∙(x) + 1/(-1)505 ∙(1/x)
= (-1)∙(x) + 1/(-1) ∙(1/x)
= - x – 1/x
= - (x + 1/x)
= -√2
আজকে আমরা এখানেই শেষ করছি, সামনে আরো নতুন নতুন সমস্যা ও সমাধান নিয়ে আলোচনা হবে। ধন্যবাদ সবাইকে।