জ্যামিতি পাঠ-৩

ত্রিভুজের পরিবৃত্ত : কোনো ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্তকে ওই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত বলে।

আর ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক পরস্পর যে বিন্দুতে ছেদ করে বা মিলিত হয়, তা হলো ওই ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বা পরিবৃত্তের কেন্দ্র।  

ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় :

এখানে ∆ABC-এর শীর্ষবিন্দুত্রয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তটি হলো পরিবৃত্ত এবং O পরিবৃত্তের কেন্দ্র। প্রমাণের স্বার্থে A বিন্দু থেকে BC এর ওপর লম্ব AE এবং কেন্দ্র দিয়ে গমনকারী AD ব্যাস আঁকি। তারপর C, D যোগ করি।

তাহলে, ∠ACD = 90° হবে, কারণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।

ধরি, AB = a, BC = b, CA = c, AE = h এবং OA = OD = R।

এখন, ∆ABE ও ∆ACD হতে পাই,

∠ABE = ∠ADC   [একই চাপ AC-এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ]

∠AEB = ∠ACD   [প্রতিটি এক সমকোণ]

এবং ∠BAE = ∠CAD

∴ ∆ABE ও ∆ACD সদৃশকোণী ও সদৃশ।

∴ AE/AC = AB/AD

বা, h/c = a/2R … … … (i)

আবার আমরা জানি, ∆ABC-এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × AE = bh/2

বা, h = 2[∆ABC]/b

h এর মান (i) এ বসিয়ে পাই, {2[∆ABC]/b}/c = a/2R

বা, R = abc/4[∆ABC]

∴ R = abc/4√{s(s - a)(s - b)(s - c)}    [হেরনের সূত্র]

আমরা পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ বা পরিব্যাসার্ধ বের করার সুত্রও পেয়ে গেলাম। এ ক্ষেত্রেও ত্রিভুজের ৩টি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে ওপরের সূত্র দিয়ে পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ বের করতে পারব।

অন্তব্যাসার্ধ ও পরিব্যাসার্ধ এর মধ্যে সম্পর্ক :

অন্তব্যাসার্ধ, r = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}/s

বা, rs = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}

আবার পরিব্যাসার্ধ, R = abc/4√{s(s - a)(s - b)(s - c)}

বা, R = abc/4rs

ইহা অন্তব্যাসার্ধ ও পরিব্যাসার্ধের মধ্যে নির্ণেয় সম্পর্ক।