গল্পে গল্পে জ্যামিতি-২

হঠাৎ একদিন সকাল বেলায় মুনিফের বাসায় নওরিনের আগমন। কারণ হলো, নওরিন স্কুলের ম্যাথ ফেস্টিভ্যালে একটা জ্যামিতি সমাধান করতে পারিনি। আর নওরিন যেমন নাছোড়বান্দা, তাতে সে জ্যামিতিটা সমাধান না করা পর্যন্ত শান্ত হতে পারছিল না। তাই সকাল সকাল মুনিফের বাসায় হাজির হয়ে গেছে। মুনিফকে তাড়াতাড়ি ঘুম থেকে তুলে জ্যামিতিটা সমাধান করতে বসে পড়ল। তাদের সমস্যাটা ছিল এ রকম- বৃত্তস্থ ABCDE পঞ্চভুজের AB = CD = 3, BC = DE = 10 এবং AE = 14। এর কর্ণগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি বের করতে হবে।

মুনিফ কিছুক্ষণ ভেবে নওরিনকে বলল, এই সমস্যাটা সমাধানের আগে তাকে টলেমির উপপাদ্যটা জানতে হবে। টলেমির উপপাদ্যটা হলো- বৃত্তস্থ কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলোর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফল চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।

অর্থাৎ PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PR ও QS দুইটি কর্ণ হলে PR∙QS = PQ∙RS + PS∙QR হবে।

এই উপপাদ্যটা জানলে আমাদের সমাধান প্রায় শেষ হয়ে যাবে। আচ্ছা চলো, তার আগে একটা চিত্র আঁকা যাক-

এখন বৃত্তস্থ পঞ্চভুজটা খেয়াল করলে দেখতে পাবে, কর্ণ AC = কর্ণ BD = কর্ণ CE।

আচ্ছা মুনিফ AC = BD = CE কেন হলো? হুম! দেখো ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যার AB = CD, ফলে BC∥AD। তাহলে ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হবে। আর সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ দুটি AC ও BD পরস্পর সমান হয়। একইভাবে BD = CE সমান। এইটার প্রমাণ অন্য একদিন বুঝিয়ে দিব।

আচ্ছা পরবর্তী ধাপে যাওয়া যাক, এখন দেখো, চিত্র থেকে পাই, ABCD, BCDE, ACDE, ABDE ও ABCE পাঁচটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। এখন কী করা যায়, বলো তো নওরিন?

এই পাঁচটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে আলাদা আলাদাভাবে টলেমির উপপাদ্য প্রয়োগ করব?

এই তো বুঝতে পেরেছ। আচ্ছা তার আগে আমরা AC = BD = CE =a, AD = b এবং BE = c ধরে নেব। তাহলে হিসাব করতে সুবিধা হবে।

এখন চতুর্ভুজগুলোতে টলেমির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

a² = 10b + 9 … … … (i)

a² = 3c + 100 … … … (ii)

ab = 10a + 42 … … … (iii)

bc = 14a + 30 … … … (iv)

ca = 3a + 140 … … … (v)

আমরা ৫টি সমীকরণ পেয়ে গেলাম। এইবার এই ৫টি সমীকরণ থেকে সহজে a, b, c-এর মান পেয়ে যাব।

(i) ও (iii) থেকে পাই, a² = 10{(10a + 42)/a} + 9

→ a³ = 100a + 420 + 9a

→ a³ - 109a – 420 = 0

→ a³ + 5³ - 109a – 525 = 0

→ (a + 5)(a² - 5a + 25) - 109(a + 5) = 0

→ (a + 5)(a² - 5a - 84) = 0

→ (a + 5)(a + 7)(a - 12) = 0

∴ a = -5, -7 এবং 12

কিন্তু a = -5, -7 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ a = 12

a এর মান (i) ও (ii) এ বসিয়ে পাই,

b = 27/2 এবং c = 44/3 

এখন চিত্রে কর্ণ আছে ৫টি, যার ৩টির দৈর্ঘ্য a = 12 , ১টির দৈর্ঘ্য b = 27/2 এবং অবশিষ্টটির দৈর্ঘ্য c = 44/3।

∴ কর্ণগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = 3a + b + c = 3∙12 + 27/2 + 44/3 = 385/6

তাহলে আমরা কর্ণগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি পেয়ে গেলাম। সমাধানটা বুঝতে পেরে নাছোড়বান্দা নওরিন স্বস্তির নিঃশ্বাস ফেলল।